Практична робота № 1

оцінка параметрів системи при різних типах групування даних

Мета: навчитись порівнювати сукупності оцінок параметрів системи при різних типах групування даних.

 

Основні теоретичні відомості

Найважливішою частиною системного аналізу є збір, групування і оцінка закономірностей сукупності даних про систему, що вивчається. Залежно від того, яка ознака (кількісна або якісна) узята за основу угрупування даних, розрізняють відповідно типи рядів розподілу.

Якщо за основу угрупування узята якісна ознака, то такий ряд розподілу називають атрибутивним (розподіл по найменуваннях)

Якщо ряд розподілу побудований за кількісною ознакою, то такий ряд називають варіаційним. Побудувати варіаційний ряд − означає упорядкувати кількісний розподіл одиниць сукупності по значеннях ознаки, а потім підрахувати кількість одиниць сукупності з цими значеннями (побудувати групову таблицю). Виділяють три форми варіаційного ряду: ранжований ряд, дискретний і інтервальний ряд.

Ранжований ряд – це розподіл окремих одиниць сукупності в порядку зростання або убування досліджуваної ознаки, що дозволяє легко розділити кількісні дані по групах, відразу виявити найменше і найбільше значення ознаки, виділити значення, які найчастіше повторюються. В такому ряді кожному об’єкту присвоюється певний ранг – місце в цьому ряді. У тому випадку, якщо кілька елементів мають той самий ранг, то кожному з них присвоюється середнє від займаних ними місць. Наприклад, в табл. 1 наведені показники якості життя дев’яти довільних держав і їх ранги в порядку зменшення показника якості життя.

Таблиця 1

 

На першому місці держава Б, А і В ділять 2 і 3 місце, їх ранг 2,5; держави Г, Е, Ж – ділять місця 4,5,6, їх ранг відповідно (4+5+6)/3=5 і т.д. Таким чином, здійснили перехід від кількісних показників ряду до якісних. Такі ранжовані оцінки дозволяють здійснити порівняння систем по параметрах, що мають різну природу та різні одиниці вимірювання, а також зробити висновки про взаємозв’язок між параметрами.

Для нашого прикладу, якщо здійснити ранжування тих же держав по рівню безробіття, то можна знайти зв'язок між якістю життя і рівнем безробіття.

Дискретний ряд − це такий варіаційний ряд, в основу побудови якого покладені ознаки з переривчастою зміною (дискретні ознаки). До останніх можна віднести тарифний розряд, кількість дітей в сім'ї, число працівників на підприємстві… Ці ознаки можуть мати лише певну кількість визначених значень.

Якщо ознака неперервно змінюється (розмір доходу, стаж роботи, вартість основних фондів підприємства і так далі, які в певних межах можуть набувати будь-яких значень), то для цієї ознаки потрібно будувати інтервальний варіаційний ряд. Групова таблиця такого ряду містить дві колонки. У першій вказується значення ознаки в інтервалі «від-до» (варіанти) у другій – число одиниць, що входять в інтервал (частота). Частота – це число повторень окремого варіанту значень ознаки, позначається f_i, іноді вказується сума накопичених частот, рівна об'єму досліджуваної сукупності.

Приклад − варіаційний ряд розподілу користувачів послуг певного підприємства в залежності від їх віку.

Таблиця 2

Вікові групи	Число користувачів	Сума накопичених частот ΣS
До 20 р	346	346
20 – 25	872	1218
25 – 30	1054	2272
30 – 35	781	3053
35 – 40	212	3265
40 – 45	121	3386
> 45 р	76	3462
Всього	3462

 

Якщо не задано інакшого, то для побудови ряду необхідно вибрати оптимальне число груп (інтервалів ряду) і встановити довжину інтервалу. Величина одного інтервалу ряду визначається як відношення розмаху варіації R (різниця між найбільшим і найменшим значенням) до кількості груп даних m: , де , ,  – число одиниць сукупності.

Як порівнювати такі сукупності? Очевидно, найпростіший спосіб – по середніх значеннях. А як обчислювати середні? Відомі різні види середніх величин: медіана, мода, середнє арифметичне, середнє геометричне, середнє гармонійне, середнє квадратичне.

Узагальненням деяких з перерахованих є середнє по Колмогорову. Для чисел середнє по Колмогорову обчислюється за формулою:

G{F(X₁)+F(X₂)+…+F(Xn))/n},

де F – строго монотонна функція, G – функція, зворотна до F. Серед середніх по Колмогорову, багато добре відомих функцій. Так, якщо F(x) = x, то середнє по Колмогорову – це середнє арифметичне, якщо F(x) = ln x, то середнє геометричне, якщо F(x) = 1/x, то середнє гармонійне, якщо F(x) = x², то середнє квадратичне і так далі. З іншого боку, такі популярні середні, як медіана і мода, не можна представити у вигляді середніх по Колмогорову.

Мода − це варіант ряду, що найбільш часто зустрічається. Мода застосовується, наприклад, при визначенні параметрів товару, що має найбільший попит у покупців. Модою для дискретного ряду є варіант, з найбільшою частотою. При обчисленні інтервального варіаційного ряду необхідно спочатку визначити модальний інтервал (по максимальній частоті), а потім – значення модальної величини ознаки по формулі:

де:  − значення моди,  − нижня межа модального інтервалу, h − величина інтервалу, , ,  − частота модального інтервалу, інтервалу перед ним і наступного за модальним.

Медіана − це значення ознаки, яке ділить цей ряд на дві рівні за чисельністю частини. Для визначення медіани в дискретному ряді за наявності частот спочатку обчислюють напівсуму частот , а потім визначають, яке значення варіанту доводиться на неї. (Якщо відсортований ряд містить непарне число ознак, то номер медіани обчислюють за формулою: Ме = (n + 1)/2, n − число ознак в сукупності. В випадку парного числа ознак медіана рівна середньому з двох центральних ознак.

При обчисленні медіани для інтервального варіаційного ряду спочатку визначають медіанний інтервал, в межах якого знаходиться медіана, а потім − значення медіани по формулі:

де:  − шукана медіана,  − нижня межа інтервалу, який містить медіану, h − величина інтервалу,  − сума частот або число членів ряду,  − сума накопичених частот інтервалів, передуючих медіанному,  − частота медіанного інтервалу.

 

Приклад виконання завдання:

Оцінити середні значення для різних типів варіаційних даних.

1.  Для ранжованих рядів

Розглянемо обробку думок експертів, виміряних в порядковій шкалі. Кожен з 5 експертів виставляє оцінку кожному з об'єктів експертизи від 1 до n (наприклад, одному з варіантів стратегічного розвитку фірми, якості продукту П, тощо), колонка 2 таблиці. Метою дослідження є отримання ранжованого ряду видів продукції чи послуг з рангами від 1 – найкращий продукт, до 8 - найгірший, що може бути основою для прийняття рішень про збільшення/зменшення об’ємів виготовлення продукції, проведення реклами, тощо.

Таблиця 3

 

Якщо обрахувати середнє арифметичне рангів кожного рядка, то можна впорядкувати продукти в порядку зростання середнього значення (колонки 3 і 4). При детальнішому аналізі видно, що на результат ранжування вплинула значна розбіжність думок експертів щодо продуктів П3, П4, П5, це показує недолік використання середньоарифметичних значень в порядкових шкалах. Для порядкової шкали оцінкою може служити обчислення медіани і моди оцінок експертів.

Мода показує який показник зустрічається найчастіше в розподілі продукту по місцях (колонка 5). Для обчислення медіани (колонка 7) впорядковуємо по зростанню кожен рядок і знаходимо значення, що стоїть в середині ряду (наприклад перший – 4,5,6,6,8 медіана – 6 – половина респондентів поставили продукт на місце менше 6, а друга половина – більше 6). Впорядковуємо продукти в порядку зростання медіан (колонка 7).

Розглянутий приклад демонструє схожість і відмінність ранжувань, отриманих за методом середніх арифметичних рангів і по методу медіан, а також користь від їх спільного застосування.

2. Для дискретних рядів

Нехай деякий параметр системи заданий множиною дискретних значень. Необхідно охарактеризувати ряд по його середніх величинах. Вибір середньої величини в загальному здійснюється в залежності від умов реальної задачі.

Використання середнього арифметичного ґрунтується на припущенні, що вихідна величина розподілена нормально − всі можливі значення сконцентровані біля деякого найбільш частого значення а відхилення в більшу і меншу сторону відносно невеликі. Реально такий розподіл зустрічається рідко.

Тривалість обслуговування абонентів, час очікування, сума контракту, розмір переведення, частка ринку, відсоток приросту − всі ці і багато інших показників розподілено ненормально, і їх, як правило, не варто усереднювати за допомогою середнього арифметичного. Нормальний розподіл зазвичай зустрічається при великому числі значень − сотні і тисячі штук. Наприклад, число звернень у великий колл-центр може бути розподілене нормально і тому в кожному випадку слід переконатися в нормальності розподілу.

Значення середнього гармонійного застосовується тоді, коли необхідно, щоб при усередненні незмінною залишалась сума величин обернених усереднюваним, найчастіше коли параметри ряду зв’язані з часом і продуктивністю.

 Наприклад: працівник А виконує операцію за 10 хв, а працівник Б – за 25. За скільки часу вони разом виконають операцію. Відповідь: 14 хв 17 сек (на відміну від середнього арифметичного 17 хв 30 сек), що дозволяє визначити темп надходження заявок на обслуговування.

Перші 100 км шляху автомобіль проїхав зі швидкістю 50 км/год, другі 100км – 80 км/год. Тоді середня швидкість його руху – за середнім гармонійним – 61,54 км/год – така, при якій на ту ж дорогу затрачається той же час.

Середнє геометричне застосовується тоді, коли значення параметра виражають відносні величини динаміки, побудовані у вигляді ланцюжкових величин, як відношення кожного наступного члена ряду до попереднього, найчастіше зустрічається в бізнес-задачах з відсотками і долями, якщо в задачі якісні показники змінюються (ростуть чи падають).

Наприклад, в 2015 році прибуток виріс на 12% від попереднього року, в 2016 – на 42 %. На скільки в середньому виріс прибуток = 26,11%.

Середнє квадратичне обраховується для обчислення середньої величини сторін n квадратних ділянок, середніх діаметрів труб, значень напруги і сили змінного струму – для обчислення яких використовується квадратична функція.

Таблиця 4

 

Вид середнього	гармонічне	геометричне	арифметичне	квадратичне
Показник степеня	-1	1	0	2
Формула

 

3. Для інтервальних рядів

Розв’язання: Розглянемо приклад з табл. 2. Тут модальний інтервал знаходиться в межах вікової групи 25-30 років, оскільки на цей інтервал доводиться найбільша частота (1054). Розрахуємо величину моди:

Це означає що модальний вік користувачів дорівнює 27 рокам.

Обчислимо медіану. Медіанний інтервал знаходиться у віковій групі 25‑30 років, оскільки в межах цього інтервалу розташована варіанту, яка ділить сукупність на дві рівні частини (Σf_i/2 = 3462/2 = 1731). Далі підставляємо у формулу необхідні числові дані і набуваємо значення медіани:

Це означає що одна половина користувачів має вік до 27,4 років, а інша понад 27,4 років.

 

Завдання для самостійного розв’язання

1. Розділити групу студентів на підгрупи по 5 чоловік, кожна підгрупа вибирає певний вид продукції в асортименті 5-8 широковідомих марок і проводить їх незалежну оцінку кожним із членів підгрупи (виставляє оцінку кожному виду продукції). Заповнити таблицю і отримати ранжований ряд видів продукції для кожної підгрупи.

 

 

2.  Для заданих дискретних рядів визначити величини основних середніх: гармонічне, геометричне, арифметичне, квадратичне.

№\хі	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	4,6	6,1	5,1	5,9	2,4	4,0	5,5	2,3	8,1	7,8
2	33	40	35	39	22	30	37	22	51	49
3	26	41	31	39	4	20	35	3	61	58
4	1289	2042	1546	1946	192	1029	1739	179	3079	2924
5	38	65	59	6	-11	63	35	-19	21	56

 

3. Розрахувати моду і медіану для інтервального ряду.

За допомогою MS Excel здійснити наступні розрахунки:

-         згенерувати дискретний ряд цілих чисел (кількість не менше 50) в діапазоні від 0 до 100 використовуючи функцію СЛЧИС() (повертає випадкове число в діапазоні від 0 до 1);

-         визначити розмах ряду, кількість і ширину інтервалу розбиття ряду;

-         записати межі інтервалів [Xі; Xi+1) i підрахувати кількість попадань чисел ряду в кожен інтервал k, використовуючи функцію ЧАСТОТА (масив даних; масив інтервалів) – обраховує частоту появи значень в певному інтервалі.

=ЧАСТОТА (масив даних; Xi+1)-ЧАСТОТА (масив даних; Xі);

- розрахувати моду і медіану за означенням.