6.3. Розрахунок основних параметрів СМО

1). Одноканальна СМО з відмовами

Розглянемо одноканальну систему масового обслуговування з відмовами, в яку поступає простий потік заявок з інтенсивністю λ; інтенсивність обслуговування μ (тобто в середньому безперервно зайнятий канал видаватиме обслужених заявок в одиницю часу). Заявка, що поступила в мить, коли канал зайнятий покидає систему не обслуженою.

Розмічений граф станів представлений на рис.15.

Рис. 15. Граф станів одноканальної СМО з відмовами.

Канал може перебувати в двох станах:

S0 – канал обслуговування вільний;

S1 – канал обслуговування зайнятий.

Граничні імовірності станів виражають середній відносний час перебування системи в стані S0 та S1, тобто визначають відносну пропускну здатність системи та імовірність відмови:

, ,

Тоді абсолютна пропускна здатність системи:

2) Багатоканальна СМО з відмовами

Розглянемо класичну задачу Ерланга. СМО складається з n каналів, на які поступає потік заявок з інтенсивністю λ. Потік обслуговування кожного каналу має інтенсивність μ. Знайти граничну імовірність станів системи і показники її ефективності. Розмічений граф станів представлений на рис.16.

Рис. 16. Граф станів багато канальної СМО з відмовами.

СМО може перебувати в таких станах:

S0 – всі канали вільні k=0;

S1 – зайнятий лише 1 канал k=1;

…

Sn – зайняті всі n каналів k = n, всі наступні заявки отримують відмову.

Граничні імовірності станів виражають середній відносний час перебування системи в кожному з станів і задаються формулами Ерланга:

де - інтенсивність навантаження каналу.

, , , тоді

3. Одноканальна СМО з обмеженою довжиною черги

Розглянемо одноканальну систему масового обслуговування з чеканням, в яку поступає простий потік заявок з інтенсивністю λ; інтенсивність обслуговування μ (тобто в середньому безперервно зайнятий канал видаватиме обслужених заявок в одиницю часу). Заявка, що поступила в мить, коли канал зайнятий стає в чергу і чекає обслуговування. Передбачимо, що кількість місць в черзі m, тобто якщо заявка прийшла в мить, коли в черзі вже стоять m-заявок, вона покидає систему не обслуженою.

Розмічений граф станів представлений на рис.17.

Рис. 17. Граф станів одноканальної СМО з обмеженою довжиною черги.

So - канал обслуговування вільний;

S1 - канал обслуговування зайнятий, але черги немає;

S2 - канал обслуговування зайнятий, в черзі стоїть 1 заявка;

Sm - канал обслуговування зайнятий, в черзі всі m заявок, будь-яка наступна заявка дістає відмову.

Вірогідність станів визначається рівняннями:

Якщо , то

Якщо , то .

Тоді: , , …,

4) Багатоканальна СМО з обмеженою довжиною черги

Розглянемо n-канальну СМО з чеканням, в яку поступає простий потік заявок з інтенсивністю λ; інтенсивність обслуговування μ. Тривалість обслуговування - випадкова величина, підпорядкована показовому закону розподілу. Потік обслуговування є простим пуасонівським потоком подій. Заявка що поступила в мить, коли всі n каналів зайняті, стає в чергу і чекає обслуговування. Передбачимо, що кількість місць в черзі обмежена числом m, тобто якщо заявка прийшла тоді, коли в черзі вже стоять m-заявок, вона покидає систему не обслуженою. Розмічений граф станів представлений на рис.18.

Рис. 18. Граф станів багатоканальної СМО з обмеженою довжиною черги.

So - всі канали вільні;

S1 – зайнятий 1 канал обслуговування;

…

Sn – зайняті всі n каналів

Sn+1 - зайняті всі n каналів і черзі стоїть 1 заявка;

Sn+m - зайняті всі n каналів, в черзі всі m заявок.

Імовірність станів визначається рівняннями:

Тоді: , , …,

, , …,

Імовірність утворення черги:

, ,

Величина черги і час перебування в черзі:

Середнє число заявок і час перебування в системі

5) Одноканальна СМО з необмеженою довжиною черги

Розглянемо одноканальну систему масового обслуговування з необмеженою чергою, в яку поступає простий потік заявок з інтенсивністю λ і інтенсивністю обслуговування μ. Заявка, що поступила в мить, коли канал зайнятий, стає в чергу і чекає обслуговування.

Розмічений граф станів представлений на рис. 19.

Рис. 19. Граф станів одноканальної СМО з необмеженою довжиною черги.

So – канал обслуговування вільний;

S1 – канал обслуговування зайнятий, але черги немає;

S2 – канал обслуговування зайнятий, в черзі стоїть 1 заявка;

Sm – канал обслуговування зайнятий, в черзі всі m заявок,

…

Оскільки немає обмеження на довжину черги, то відмов немає:

, , .

Тоді:

Якщо λ>μ, то черга буде постійно збільшуватись.

6) Багатоканальна СМО з необмеженою довжиною черги

Розглянемо n-канальну систему масового обслуговування з необмеженою чергою, в яку поступає простий потік заявок з інтенсивністю λ і інтенсивністю обслуговування μ (тобто в середньому безперервно зайнятий канал видаватиме ρ=λ/μ обслужених заявок в одиницю часу).

Потік обслуговування є простим пуасонівським потоком подій. Заявка, що поступила в мить, коли канал зайнятий, стає в чергу і чекає обслуговування. Розмічений граф станів представлений на рис. 20.