6. Теорія систем масового обслуговування

Система масового обслуговування (СМО) – це системи виробництва, обслуговування, управління, в яких однорідні події повторюються багато разів, наприклад, на підприємствах побутового обслуговування; у системах прийому, переробки і передачі інформації; автоматичних лініях виробництва і ін. Основні елементи СМО – це об’єкти, що обслуговуються в СМО (вимоги чи заявки), та один або декілька обслуговуючих пристроїв з чергою. У відкритій мережі МО вимоги надходять ззовні мережі і після обробки залишають її. У закритій мережі МО деяка кількість вимог весь час знаходиться в ній, переходячи з однієї СМО до іншої, але ніколи не залишаючи мережу МО.

Мережі масового обслуговування функціонують за наступними простими правилами:

1. Вимоги, що надходять на обслуговування, проходять одну за одною СМО згідно указаного маршруту.

2. На вході кожної СМО вимога намагається знайти один вільний пристрій з декількох паралельно функціонуючих. Правило, за яким вимога обирає той чи інший пристрій за умови, що вони вільні, може бути указано окремо у відповідності до процесу функціонування реальної системи. Якщо всі пристрої однакові, то вимога переглядає пристрої по порядку і займає перший, що виявився вільним.

3. Якщо в момент надходження вимоги до СМО всі пристрої виявились зайнятими, то вимога при наявності черги у СМО намагається в неї потрапити, або залишає мережу масового обслуговування і вважається не обслугованою.

4. Черга у СМО обов’язково одна. Кількість місць у черзі може бути обмежена або необмежена. Якщо в реальному процесі не виникає проблеми з наявністю вільного місця у черзі, то при моделюванні така черга може вважатись необмеженою, навіть якщо місць у ній декілька. Отже, обмеження на кількість місць у черзі вводять, коли потрібно моделювати ситуацію „в даний момент вимога не може бути прийнята у СМО”.

Теорія систем масового обслуговування як розділ теорії імовірності виникла порівняно недавно. Вона охоплює вирішення завдань, в яких здійснюється виконання послідовності однорідних операцій, випадкових по тривалості і часу появи. Першим важливим предметом дослідження теорії масового обслуговування були телефонні системи, що характеризуються випадковим потоком викликів абонентів. У цій ситуації виникає завдання розрахунку об'єму телефонного комутатора, при якому імовірність зайнятості комутатора не вище заданого рівня. Дещо пізніше виявили, що такі математичні моделі можуть описувати і інші життєві явища. Наприклад, при розрахунку навантажень енергетичних мереж, плануванні підприємств масового обслуговування, дослідженні скупченості транспорту, тощо.

Теорія систем масового обслуговування область прикладної математики, що займається аналізом процесів в системах виробництва, обслуговування, управління, в яких однорідні події повторюються багато разів, наприклад, на підприємствах побутового обслуговування; у системах прийому, переробки і передачі інформації; автоматичних лініях виробництва і ін.

Обслуговуваний об'єкт в теорії систем масового обслуговування називається вимогою або заявкою. У загальному випадку під вимогою (заявкою) зазвичай розуміють запит на задоволення деякої потреби. Роль вимог або заявок виконують клієнти, відвідувачі, покупці, документи, товари, судна і так далі. Засоби, обслуговуючі вимоги (заявки), називаються обслуговуючими пристроями або каналами обслуговування. Роль каналів обслуговування грають касири, фахівці, канали телефонного зв'язку, товарознавці, комп'ютери, майстри-ремонтники, навантажувально-розвантажувальні точки на базах і складах і так далі. Вимоги (заявки) поступають в (СМО) зазвичай не регулярно, а випадково, утворюючи так званий випадковий потік вимог (заявок). Обслуговування заявок також триває якийсь випадковий час, це приводить до того, що СМО виявляється завантаженою нерівномірно: у якісь періоди часу скупчується дуже велика кількість заявок (або вони стають в чергу, або покидають СМО необслуженими), в інші періоди СМО працює з недовантаженням або простоює. Графічне зображення системи масового обслуговування представлене на рис 12.

Рис. 12. Система масового обслуговування.

 

Для того, щоб представити систему засобами мережі масового обслуговування потрібно:

·  з’ясувати, що являється в системі об’єктом обслуговування;

·  виділити елементи процесу обслуговування об’єктів і кожному елементу поставити у відповідність СМО;

·  для кожної СМО визначити кількість пристроїв та наявність черги;

·  з’єднати СМО у відповідності до процесу обслуговування;

·  визначити маршрут проходження об’єкту обслуговування від однієї СМО до іншої;

·  визначити умови надходження в кожну СМО (ймовірність вибору маршруту);

·  визначити наявність блокування маршруту та умови блокування;

·  визначити числові значення параметрів кожної СМО;

·  визначити числові значення параметрів зовнішнього потоку на обслуговування;

·  визначити стан мережі масового обслуговування на початку моделювання.

Основним завданням теорії масового обслуговування є вивчення режиму функціонування обслуговуючої і визначення такого варіанту системи, при якому буде забезпечений мінімум сумарних втрат від чекання обслуговування, втрат часу і ресурсів на обслуговування і від простоїв каналів обслуговування. При цьому мета клієнта - заявки, вимоги: витратити якомога менше часу, простоюючи в черзі. Мета обслуговуючої системи обслуговуючих пристроїв, каналів обслуговування: якомога менше часу знаходитися в стані вимушених простоїв. Мета аналізу СМО: досягти розумного компромісу між вимогами "клієнтів" і потужністю обслуговуваної системи.

Для цього розраховуються показники ефективності СМО через її характеристики. Як показники ефективності роботи СМО використовуються:

-   абсолютна пропускна спроможність системи (λ), тобто середнє число заявок, що обслуговуються в одиницю часу;

-   відносна пропускна спроможність (Q), тобто середня доля заявок, що поступили, обслуговуються системою;

-   імовірність відмови (Рвідм), тобто імовірність того, що заявка покине СМО не обслуженою;

-   середнє число зайнятих каналів (k);

-   середнє число заявок в СМО ( Lc.);

-   середній час перебування заявки в системі (Тс);

-   середнє число заявок в черзі (Lч) - довжина черги;

-   середнє число заявок в системі (Lсист);

-   середній час перебування заявки в черзі ( Т0 );

-   середній час перебування заявки в системі (Tсист);

-   міра завантаження каналу ( Рзав ), тобто імовірність того, що канал зайнятий;

-   середнє число заявок, що обслуговуються в одиницю часу;

-   середній час очікування обслуговування;

-   імовірність того, що число заявок в черзі перевищить певне значення, тощо.