6. Теорія систем масового
обслуговування
Система масового
обслуговування (СМО) – це системи
виробництва, обслуговування, управління, в яких однорідні події повторюються
багато разів, наприклад, на підприємствах побутового обслуговування; у системах
прийому, переробки і передачі інформації; автоматичних лініях виробництва і ін.
Основні елементи СМО – це об’єкти, що обслуговуються в СМО (вимоги чи заявки),
та один або декілька обслуговуючих пристроїв з чергою. У відкритій мережі МО
вимоги надходять ззовні мережі і після обробки залишають її. У закритій мережі
МО деяка кількість вимог весь час знаходиться в ній, переходячи з однієї СМО до
іншої, але ніколи не залишаючи мережу МО.
Мережі масового обслуговування функціонують за наступними
простими правилами:
1. Вимоги, що надходять на обслуговування, проходять одну за
одною СМО згідно указаного маршруту.
2. На вході кожної СМО вимога намагається знайти один вільний
пристрій з декількох паралельно функціонуючих. Правило, за яким вимога обирає
той чи інший пристрій за умови, що вони вільні, може бути указано окремо у
відповідності до процесу функціонування реальної системи. Якщо всі пристрої
однакові, то вимога переглядає пристрої по порядку і займає перший, що виявився
вільним.
3. Якщо в момент надходження вимоги до СМО всі пристрої
виявились зайнятими, то вимога при наявності черги у СМО намагається в неї
потрапити, або залишає мережу масового обслуговування і вважається не
обслугованою.
4. Черга у СМО обов’язково одна. Кількість місць у черзі може
бути обмежена або необмежена. Якщо в реальному процесі не виникає проблеми з
наявністю вільного місця у черзі, то при моделюванні така черга може вважатись
необмеженою, навіть якщо місць у ній декілька. Отже, обмеження на кількість
місць у черзі вводять, коли потрібно моделювати ситуацію „в даний момент вимога
не може бути прийнята у СМО”.
Теорія систем масового обслуговування як розділ теорії
імовірності виникла порівняно недавно. Вона охоплює вирішення завдань, в яких
здійснюється виконання послідовності однорідних операцій, випадкових по
тривалості і часу появи. Першим важливим предметом дослідження теорії масового
обслуговування були телефонні системи, що характеризуються випадковим потоком
викликів абонентів. У цій ситуації виникає завдання розрахунку об'єму
телефонного комутатора, при якому імовірність зайнятості комутатора не вище заданого
рівня. Дещо пізніше виявили, що такі математичні моделі можуть описувати і інші
життєві явища. Наприклад, при розрахунку навантажень енергетичних мереж,
плануванні підприємств масового обслуговування, дослідженні скупченості
транспорту, тощо.
Теорія систем масового
обслуговування – область
прикладної математики, що займається аналізом процесів в системах виробництва,
обслуговування, управління, в яких однорідні події повторюються багато разів,
наприклад, на підприємствах побутового обслуговування; у системах прийому,
переробки і передачі інформації; автоматичних лініях виробництва і ін.
Обслуговуваний об'єкт в теорії систем масового обслуговування
називається вимогою або заявкою. У
загальному випадку під вимогою (заявкою) зазвичай розуміють запит на задоволення деякої потреби.
Роль вимог або заявок виконують клієнти, відвідувачі, покупці, документи,
товари, судна і так далі. Засоби, обслуговуючі вимоги (заявки), називаються
обслуговуючими пристроями або каналами обслуговування. Роль каналів обслуговування
грають касири, фахівці, канали телефонного зв'язку, товарознавці, комп'ютери,
майстри-ремонтники, навантажувально-розвантажувальні точки на базах і складах і
так далі. Вимоги (заявки) поступають в (СМО) зазвичай не регулярно, а
випадково, утворюючи так званий випадковий потік вимог (заявок). Обслуговування
заявок також триває якийсь випадковий час, це приводить до того, що СМО
виявляється завантаженою нерівномірно: у якісь періоди часу скупчується дуже
велика кількість заявок (або вони стають в чергу, або покидають СМО
необслуженими), в інші періоди СМО працює з недовантаженням або простоює.
Графічне зображення системи масового обслуговування представлене на рис 12.
Рис.
12. Система масового обслуговування.
Для того, щоб представити систему засобами мережі масового
обслуговування потрібно:
· з’ясувати, що являється в системі об’єктом обслуговування;
· виділити елементи процесу обслуговування об’єктів і кожному
елементу поставити у відповідність СМО;
· для кожної СМО визначити кількість пристроїв та наявність черги;
· з’єднати СМО у відповідності до процесу обслуговування;
· визначити маршрут проходження об’єкту обслуговування від однієї
СМО до іншої;
· визначити умови надходження в кожну СМО (ймовірність вибору
маршруту);
· визначити наявність блокування маршруту та умови блокування;
· визначити числові значення параметрів кожної СМО;
· визначити числові значення параметрів зовнішнього потоку на
обслуговування;
· визначити стан мережі масового обслуговування на початку
моделювання.
Основним завданням теорії масового обслуговування є вивчення
режиму функціонування обслуговуючої і визначення такого варіанту системи, при
якому буде забезпечений мінімум сумарних втрат від чекання обслуговування,
втрат часу і ресурсів на обслуговування і від простоїв каналів обслуговування.
При цьому мета клієнта - заявки, вимоги: витратити якомога менше часу,
простоюючи в черзі. Мета обслуговуючої системи –
обслуговуючих пристроїв, каналів обслуговування: якомога менше часу знаходитися
в стані вимушених простоїв. Мета аналізу СМО: досягти розумного компромісу між
вимогами "клієнтів" і потужністю обслуговуваної системи.
Для цього розраховуються показники ефективності СМО через її
характеристики. Як показники
ефективності роботи СМО використовуються:
-
абсолютна пропускна
спроможність системи (λ), тобто середнє число заявок, що обслуговуються в
одиницю часу;
-
відносна пропускна
спроможність (Q), тобто середня доля заявок, що поступили, обслуговуються
системою;
-
імовірність відмови (Рвідм),
тобто імовірність того, що заявка покине СМО не обслуженою;
-
середнє число зайнятих
каналів (k);
-
середнє число заявок в СМО (
Lc.);
-
середній час перебування
заявки в системі (Тс);
-
середнє число заявок в черзі
(Lч) - довжина черги;
-
середнє число заявок в
системі (Lсист);
-
середній час перебування
заявки в черзі ( Т0 );
-
середній час перебування
заявки в системі (Tсист);
-
міра завантаження каналу (
Рзав ), тобто імовірність того, що канал зайнятий;
-
середнє число заявок, що
обслуговуються в одиницю часу;
-
середній час очікування
обслуговування;
-
імовірність того, що число
заявок в черзі перевищить певне значення, тощо.