Практичне заняття 4

Тема: Розрахунок потужності компенсувальних установок. Розподіл сумарної потужності компенсувальних пристроїв

 

Мета заняття:  набуття навику розрахунку потужності компенсувальних пристроїв та розподілу їх сумарної потужності.

 

Приклад 1

В існуючій схемі електропостачання (рис. 4.1) потрібно визначити потужності компенсувальних пристроїв, Q_k1 і Q_k2 у вузлах 1 і 2 виходячи з умови мінімуму сумарних витрат на встановлення цих пристроїв і покриття втрат активної потужності в схемі.

Вихідні дані:

‑ напруга схеми U=10кВ;

‑ опори ліній R₁=6Ом, R₂=4Ом;

‑ реактивні навантаження вузлів 1 і 2 Q₁=600 квар і Q₂=800 квар;

‑ питомі витрати на установку компенсувальних пристроїв z₀=0,5 у.о./квар;

- питомі витрати на покриття втрат активної потужності с₀=10у.о./кВт.

Рис.4.1. Схема електропостачання

 

Розв’язок: Цільова функція, що представляє собою сумарні витрати на встановлення компенсувальних пристроїв і покриття втрат активної потужності в схемі, має такий вигляд:

де      

Введення числового коефіцієнта 10^-3 необхідно для приведення всіх складових цільової функції до однієї розмірності (у.о.).

Для розв’язку задачі виберемо метод покоординатного "спуску". Визначимо часткові похідні цільової функції Z за змінними Q_k1 і Q_k2:

Приймемо вихідне наближення:  Для цих значень обчислимо значення цільової функції і її часткових похідних:

Очевидно, що в напрямку змінної Q_k2 цільова функція Z спадає швидше, ніж у напрямку змінної Q_k1, оскільки

У напрямку змінної Q_k2 і почнемо "спуск".

Приймемо величину кроку  Перше наближення (перший крок) буде  Значення цільової функції:

Другий крок:  Значення цільової функції Z₂=616 у.о.

Третій крок:  Значення цільової функції Z₃=689у.о.

Очевидно, що "спуск" координатою Q_k2 доцільно припинити, оскільки Z₃>Z₂, і повернутися до значень змінних , отриманих на другому кроці.

Виконаємо новий третій крок  у напрямку іншої змінної  Значення цільової функції Z₃=624 у.о. Рух у напрямку змінної Q_k1 недоцільний, оскільки Z₃>Z₂.

Точка з координатами  перебуває біля мінімуму цільової функції Z. При прийнятій довжині кроку  більш точний розв’язок отриманий бути не може.

Розв’язати цю задачу можна з використанням програмного забезпечення MS Excel. Результати розв’язку наступні:

Q_k1=183квар, Q_k2=800квар, Z=596у.o.

Цей розв’язок більш точний, значення цільової функції на 28 у.o. менше, ніж у методі покоординатного спуску з постійним кроком.

 

Приклад 2

В існуючій схемі електропостачання (рис. 4.2) потрібно розподілити між вузлами 1, 2 і 3 сумарну потужність компенсувальних пристроїв, яка дорівнює 1000 квар. Критерій оптимальності ‑ мінімум втрат активної потужності.

Вихідні дані:

‑ напруга схеми U=10 кВ;

‑ опори ліній R₁=0,4, R₂=0,5, R₃=0,6Ом;

‑ реактивні навантаження вузлів Q₁=600, Q₂=500, Q₃=400квар.

Рис.4.2. Схема електропостачання

 

Розв’язок: Відповідно до вихідних даних втрати активної потужності, які необхідно мінімізувати (цільова функція) визначаються співвідношенням:

де      

Сумарна потужність джерел реактивної потужності обмежується умовою:

Відповідно  функція Лагранжа буде мати вигляд:

Для визначення мінімуму функції Лагранжа обчислимо її часткові похідні за всіма змінними і прирівняємо ці похідні до нуля:

(4.1)

Отримана система лінійних рівнянь легко розв’язується. З першого рівняння системи (4.1) визначається величина множника Лагранжа:

             (4.2)

Після підстановки  в друге рівняння системи, одержимо:

                                    (4.3)

Звідки

Після підстановки  в третє рівняння системи, одержимо:

Звідки

Із останнього рівняння системи (4.1):

І, нарешті, з першого рівняння системи (4.1) знайдемо величину множника Лагранжа:

Відповідно до виразу цільової функції мінімальні втрати активної потужності в схемі електропостачання при обмеженні сумарної потужності компенсувальних пристроїв величиною Q_k=1000квар складуть: