Практичне заняття 1

Тема: Формування математичної моделі оптимізаційної задачі

 

Мета заняття: Отримати навички формування математичної моделі оптимізаційної задачі, яка складається з цільової функції, обмежень та граничних умов

 

Визначити максимальний прибуток підприємства, яке випускає продукцію у вигляді виробів трьох видів (i=1, 2, 3). Для виготовлення кожного i-го виробу потрібні три види ресурсів: енергетичні, фінансові й сировинні (j=1, 2, 3).

 

Вихідні дані:

·  наявність на підприємстві кожного j -го ресурсу b_j;

·  норма витрати j -го ресурсу на один виріб i -го виду a_ji;

·  прибуток c_i від реалізації одного i -го виробу;

·  мінімальна кількість b₄ всіх видів виробів, що підприємство повинне виготовити.

 

Розв’язок. Позначимо шукані кількості 1-го, 2-го й 3-го видів виробів через х₁, х₂ і х₃.

Оскільки необхідно знайти максимальний прибуток підприємства, цей економічний критерій і виразимо цільовою функцією. Прибуток від реалізації виробів i-го виду є добуток c_ix_i. Підлягаючої максимізації сумарний прибуток від реалізації трьох видів виробів (цільова функція) буде мати наступний вигляд:

                             (1.1)

Перейдемо до складання обмежень. Оскільки на один виріб 1-го виду потрібно a₁₁ одиниць енергії, на шукану кількість х₁ буде потрібно a₁₁x₁ одиниць енергії. Для шуканих кількостей виробів 2-го й 3-го видів буде потрібно відповідно a₁₂x₂ і a₁₃x₃ одиниць енергії. Сумарна витрата енергії на випуск трьох видів виробів складе  одиниць енергії. Ця величина обмежена наявністю на підприємстві енергетичних ресурсів у кількості b₁. Таким чином, обмеження за енергетичними ресурсами буде мати вигляд:

.

Аналогічно складаються обмеження за фінансовими та сировинними ресурсами.

Обмеження мінімальної сумарної кількості виробів, що випускаються, запишеться як:

.

У підсумку, вся система обмежень буде мати вигляд:

                                     (1.2)

Оскільки кількість виробів будь-якого виду не може бути від’ємним числом, граничними умовами будуть невід’ємні значення шуканих змінних:

                                                 (1.3)

Вирази (1.1), (1.2) і (1.3) являють собою математичну модель поставленої оптимізаційної задачі.

Вирази (1.1) і (1.2) є лінійно залежними від шуканих змінних x_i, отже, розглянута оптимізаційна задача відноситься до класу лінійних задач, які розв'язуються методами лінійного програмування.