6.1 Основні поняття

 

У попередніх розділах розглядався розв’язок оптимізаційних задач, у яких вся вихідна інформація була однозначно визначена. Така інформація називається детермінованою. Прикладом детермінованої вихідної інформації можуть служити однозначні значення коефіцієнтів с_i, a_ij і b_j (i=1,2,...n; j=1,2,...m) у лінійній математичній моделі (2.1). У практичних задачах далеко не завжди вихідна інформація буває детермінованою.

Досить часто вихідна інформація або її частина являють собою випадкові величини або випадкові функції. Наприклад, потужності навантажень у проектованій системі електропостачання можна вважати випадковими величинами, а зміни в часі напруг у вузлах існуючої системи електропостачання ‑ випадковими функціями. Для розв’язку оптимізаційних задач із випадковою вихідною інформацією використовуються методи стохастичного програмування.

Відомо, що випадковими величинами займається розділ вищої математики ‑ теорія ймовірностей. Тому перш ніж перейти до методів розв’язку оптимізаційних задач згадаємо деякі поняття цієї теорії.

Випадковою величиною s називається така величина, що може прийняти те або інше значення, причому заздалегідь невідомо, яке саме.

Випадкова величина s може бути безперервною або дискретною. У заданому діапазоні зміни випадкової величини кількість значень дискретної випадкової величини є обмеженим, а кількість значень безперервної випадкової величини є необмеженим. Прикладом безперервної випадкової величини є величина напруги в деякому вузлі системи електропостачання. Прикладом дискретної випадкової величини є кількість генераторів, які одночасно працюють в енергосистемі.

Математичним сподіванням випадкової величини називається її середнє значення, яке отримане в результаті n реалізацій:

                                                     (6.1)

де s_i ‑ значення випадкової величини в i-й реалізації.

Середньоквадратичне (стандартне) відхилення визначає розкид значень випадкової величини відносно її математичного сподівання:

                                                        (6.2)

Важливою характеристикою випадкової величини служить ймовірність Р появи цієї випадкової величини в конкретному інтервалі значень.

Для кількісної оцінки ймовірності випадкової величини вводиться функція розподілу ймовірності. Припустимо, що випадкова величина s може приймати значення від  до . Функція розподілу Р(s) цієї випадкової величини показує імовірність того, що випадкова величина потрапить в інтервал від  до s. Отже,

                                          (6.3)

Найбільше поширення на практиці одержав нормальний закон розподілу. Відповідно до цього закону з імовірністю 0,999 випадкова величина перебуває в інтервалі:

                        (6.4)

що й приймається за дійсні межі зміни випадкової величини s.

При розв’язуванні практичних задач досить часто застосовують нормальний стандартний закон розподілу. Цей закон описує ймовірність появи стандартної випадкової величини , що має математичне сподівання  і середньоквадратичне відхилення , в інтервалі  (рис. 6.1).

За допомогою цього графіка вирішуються дві протилежні одна одній задачі. З одного боку, визначається, яке повинне бути значення випадкової величини , щоб імовірність її появи склала, наприклад . Це значення випадкової величини становить . З іншого боку, визначається ймовірність появи випадкової величини , яка не перевищує, наприклад, значення 0,84 (). Ця ймовірність становить.

Рис. 6.1. Функція розподілу нормального стандартного закону

 

В MS Excel ці два обчислення виконуються за допомогою статистичних функцій НОРМСТОБР(0,8)=0,84 і НОРМСТРАСП(0,84)=0,8 після звертання до майстра функцій  в головному меню.

Від функції розподілу нормального стандартного закону можна перейти до функції розподілу нормального закону будь-якої випадкової величини s оптимізаційної задачі. Зв'язок між цією випадковою величиною s і стандартною випадковою величиною  виражається залежністю:

                                                 (6.5)