4.6 Задачі оптимального розподілу компенсувальних пристроїв у СЕП

 

Більшість споживачів електроенергії, крім активної потужності, споживає й реактивну потужність. На відміну від активної потужності реактивну потужність можна одержати безпосередньо у споживачів від спеціальних джерел реактивної потужності.

Розміщення джерел реактивної потужності в схемі електропостачання називається компенсацією реактивної потужності, а самі джерела – компенсувальними пристроями. Докладно питання компенсації реактивної потужності розглядаються в спеціальних курсах.

Основна ідея компенсації реактивної потужності полягає в наступному. Розглянемо найпростішу схему електропостачання (рис. 4.7), що включає в себе лінію з активним опором R, яка з’єднує джерело живлення напругою U і споживача потужністю P+jQ.

Рис.4.7. Найпростіша схема компенсації реактивної потужності

 

Втрати активної потужності в лінії при відсутності компенсувальних пристроїв (Q_k=0) становлять:

                                (4.25)

При встановленні у споживача компенсувальних пристроїв  ці втрати зменшаться до величини:

                       (4.26)

Таким чином, компенсація реактивної потужності дозволяє зменшити втрати активної потужності в схемі електропостачання й поліпшити техніко-економічні показники цієї схеми.

З виразів (4.25) і (4.26) видно, що втрати потужності  мають дві складові: втрати від протікання лінією активної потужності Р і втрати від протікання лінією реактивної потужності Q або (Q-Q_k). Оскільки компенсація реактивної потужності впливає тільки на другу складову втрат, надалі будемо розглядати втрати від протікання лініями тільки реактивних потужностей.

При проектуванні схеми електропостачання, як правило, мінімізуються грошові витрати на цю схему. Зниження втрат потужності за рахунок встановлення компенсувальних пристроїв зменшує витрати на схему, оскільки кожний загублений кВт потужності необхідно виробити на електростанціях і, отже, затратити на це кошти. Однак і компенсувальні пристрої вимагають грошових витрат.

У зв'язку із цим виникає задача визначення оптимальної потужності компенсувальних пристроїв, що відповідає мінімуму сумарних витрат. Така задача відноситься до задач безумовної оптимізації й може бути вирішена, наприклад, градієнтними методами.

Для системи електропостачання величина сумарної потужності компенсувальних пристоїв, Q_k може бути заданою якимись технічними умовами. У цьому випадку задану потужність Q_k потрібно оптимальним чином розподілити всередині системи електропостачання. Це вже задача умовної оптимізації й вирішується, наприклад, методом Лагранжа.

Розглянемо таку задачу для радіальної схеми електропостачання (рис. 4.8). Джерело живлення має напругу U. Від цього джерела живляться n споживачів з реактивними потужностями Q₁,Q₂,...Q_n. Активні опори ліній між джерелом і споживачами становлять R₁,R₂,...R_n. У кожного i-го споживача може встановлюватися компенсувальний пристрій потужністю Q_ki.

Потрібно знайти оптимальний розподіл між споживачами 1,2,...n заданої сумарної потужності компенсувальних пристроїв, Q_k. Критерій оптимальності ‑ мінімум втрат активної потужності в схемі. Цільова функція, яка повинна бути мінімізована, що представляє собою втрати активної потужності в схемі, має такий вигляд:

                        (4.27)

Відносний мінімум цільової функції шукається при обмеженні:

                          (4.28)

 

Рис.4.8. Радіальна схема електропостачання

 

Запишемо функцію Лагранжа:

                   (4.29)

Для пошуку мінімуму функції L обчислимо її часткові похідні й прирівняємо їх до нуля:

                  (4.30)

Аналіз системи (4.30) показує, що оптимальний розподіл заданої сумарної величини компенсувальних пристроїв Q_k у радіальній схемі електропостачання підкоряється залежності:

(4.31)

Розглянемо задачу оптимального розподілу заданої потужності компенсувальних пристроїв Q_k між споживачами 1,2,…n у магістральній схемі електропостачання (рис. 4.9). Цільова функція, яка повинна бути мінімізована має наступний вигляд:

        (4.32)

Рис.4.9. Магістральна схема електропостачання

 

Відносний мінімум цільової функції шукається при обмеженні:

                         (4.33)

Запишемо функцію Лагранжа:

(4.34)

Для пошуку мінімуму функції L обчислимо її часткові похідні й прирівняємо їх до нуля (4.35).

З першого рівняння системи (4.35) слідує:

                               (4.36)

З урахуванням цього співвідношення з другого рівняння системи слідує:

                                   (4.37)

Підставивши співвідношення (4.36) і (4.37) в третє  рівняння системи, одержимо:

                                   (4.38)

і так далі. Із третього знизу рівняння системи (4.35) одержимо:

                        (4.39)

З передостаннього рівняння системи одержимо:

                      (4.40)

Як видно з (4.40), в останнього n-го споживача потрібно встановити компенсувальний пристрій, потужність, якого рівна реактивній потужності цього споживача. В такому випадку говорять про повну компенсацію реактивної потужності споживача.

(4.35)

З (4.39), (4.38) і (4.37) видно, що в (n-1)-го,...3-го й 2-го споживачів також варто виконати повну компенсацію реактивної потужності.

Однак при розміщенні компенсувальних пристроїв, необхідно враховувати обмеження ‑ останнє рівняння системи (4.34).

Таким чином, у магістральній схемі електропостачання компенсувальні пристрої варто встановлювати відповідно до умов повної компенсації реактивної потужності Q_ki=Q_i, починаючи від кінця магістральної схеми до її початку (від n-го споживача до першого споживача), до виконання умови , i=1,2,...n.

Якщо в i-го споживача ця умова виконалася, то в споживачів 1,2,...i-1 компенсувальні пристрої не встановлюються.