2.3. Нагрівання котушок

 

Розрахунок розподілу температури в середині котушки є надзвичайно складною задачею. Так як тіло котушки є неоднорідним, то тепловий потік проходить через повітряний зазор, міжшарову та виткову ізоляцію та метал провідника. Тепло віддається через зовнішню циліндричну поверхню , через внутрішню циліндричну поверхню  та через верхній та нижній торці (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Ескіз котушки

Зробимо припущення що:

1. Тепловий потік іде тільки через внутрішню та зовнішню циліндричні поверхні, а потім з торців відсутній.

2. Втрати в котушці рівномірно розподілені по її об’єму.

3. Тіло котушки – це однорідний матеріал з еквівалентною теплопровідністю .

Тепловий баланс шару, який знаходиться на відстані  від вісі, описується рівнянням:

,                                (2.11)

де  – температура шару з радіусом ;  – потужність втрат в одиниці об’єму котушки.

Перейдемо в (2.11) до нової змінної , де  – температура навколишнього середовища;  – перевищення температури. Тоді будемо мати:

.                                 (2.12)

Розв’язок (2.12) має вигляд:

.                             (2.13)

Визначимо в (2.13) сталі інтегрування  і . Оскільки тепловий потік іде через внутрішню та зовнішню поверхні, то шар з максимальною температурою буде у середині котушки, тому: ; ; , або ; .

Тоді (2.13) буде мати вигляд:

.                               (2.14)

Підставляючи в (2.14) спочатку , а потім , здійснюємо віднімання рівнянь та одержимо:

.                        (2.15)

Якщо котушка намотана на монолітний ізоляційний каркас, то віддача тепла через внутрішню поверхню обмежена і нею можна нехтувати. Тоді можна вважати, що ,  і (2.15) приймає вигляд:

.                   (2.16)

Перевищення температури  визначається за формулою Ньютона:

.

Рівняння (2.16) дозволяє знайти максимальну температуру провідника .