7.7.  Розрахунок валів для запобігання поперечним коливанням

 

Більшість швидкохідних валів знаходяться під дією змінних за модулем або напрямом сил, перпендикулярних до осі обертання, на­приклад сил, спричинених дисбалансом встановлених на них деталей. Частота таких збурюючих сил переважно дорівнює частоті обертання вала. Якщо частота збурюючих сил стає рівною частоті власних коли­вань вала, то настає явище резо­нансу, коли амплітуда коливань різко зростає і може досягнути та­кого значення, при якому відбудеться руйнування вала. Кутова швидкість вала, що відповідає ре­зонансним коливанням, називаєть­ся критичною кутовою швидкістю ωкр.

Розрізняють згинальні та кру­тильні коливання валів. Крутильні коливання мають суттєве значення під час розрахунків валів із вели­кими приєднаними до них масами, наприклад роторів потужних тур­бін.

Рис. 11

Розрахунок валів для запобіган­ня поперечним коливанням полягає у перевірці умови відсутності резонансу під час усталеного режиму роботи. Відповідно до цієї умови фактична кутова швидкість обертання не повинна знаходитись у межах від  0,7 · ωκρ  до  1,3 · ωкр, тобто:

0,7 · ωκρ > ω > 1,3 · ωкр.                                    (13)

Критичну кутову швидкість вала визначимо на основі таких мір­кувань. Припустимо, що на валу симетрично щодо опор розміщений диск масою m, центр ваги якого зміщений відносно геометричної осі обертання на величину е (р.11 а).

Під час обертання вала під дією відцентрової сили Fv на диск відбувається його поперечний згин. При кутовій швидкості ω прогин вала буде у (рис. 11, б), а відцентрова сила:

Fv = m · ω2  · (у + е).                                 (14)

Відцентрову силу Fv зрівноважує сила поперечної пружності вала:

Fnp = k · y,                                           (15)

де k – згинальна жорсткість вала (сила, що спричинює прогин вала на 1 мм).

З усталеним режимом обертання вала зберігається умова Fv = Fnp, тобто:

m · ω2  · (y + e) = k · y,

звідки можемо дістати вираз для прогину вала:   

у = m · ω2 ·  e / (k – m · ω2).                              (16)

З аналізу виразу (16) випливає, що при k = m · ω2 прогин у = ∞, тобто наступає резонанс. Резонансна, або критична, кутова швидкість вала

.                                          (17)

Формулу можна подати і в іншому вигляді. Якщо взяти   m = G / g, де G – власна вага диска, g – прискорення вільного падіння, a G / k = yст – статичний прогин вала під дією власної ваги диска, то         

.                                      (18)

Для схеми на рис. 11, б згинальна жорсткість вала може бути визначена, якщо записати прогин вала у вигляді:

у = Fv  · l3  / (48 · E · I) = k · y · l3 / (48 · E · I).

Звідси маємо:

        k = 48 · E ·  I / l3.                                     (19)

Отже, маючи критичну кутову швидкість ωκρ вала заданих розмі­рів, за умовою (13) можна перевірити відсутність резонансу при усталеному режимі обертання з кутовою швидкістю ω.

Aналіз формули (16) показує, що при ω < ωκρ (дорезонансний режим обертання вала) знаки е та у однакові, що від­повідає обертанню вала за схемою рис. 11, б. Якщо ω > ωκρ (зарезонансний режим обертання вала), знаки при е та у протилежні. В цьому випадку при ω y е, тобто центр ваги (ц. в.) диска наближається до геометричної осі обертання вала (рис. 11, в). Таке явище називають самоцентруванням вала в закритичній області кутових швидкостей.

Більшість валів працює в докритичній області. Щоб зменшити не­безпеку резонансу, треба підвищити згинальну жорсткість валів і тим самим збільшити критичну кутову швидкість. При високих швид­костях обертання, наприклад у швидкохідних центрифугах та турбі­нах, застосовують вали, що працюють у закритичній області. В таких випадках слід передбачати додаткові спеціальні пристрої, що зменшу­ють прогини валів під час переходу через резонансну область.