РОЗДІЛ 4. ФРАКТАЛЬНА ГРАФІКА

 

 

4.1. Основні відомості про фрактальну графіку

 

Поняття фрактал і фрактальна геометрія, які з’явилися в кінці 70-х, з середини 80-х міцно увійшли у вжиток математиків і програмістів. Слово фрактал утворене від латинського fractus і в перекладі означає – складатися з фрагментів. Воно було запропоноване Бенуа Мандельбротом в 1975 році для позначення нерегулярних, проте слабоподібних структур, якими він займався.

Народження фрактальної геометрії прийнято пов'язувати з виходом в 1977 році книги Мандельброта «The Fractal Geometry of Nature». У його роботах використані наукові результати інших учених, що працювали в 1875 – 1925 роках в тій же галузі (Пумнкаре, Фату, Жюліа, Кантор, Хаусдорф). Але тільки у наш час наші часи вдалося об'єднати їх роботи в єдину систему. Визначення фрактала, дане Мандельбротом: фракталом називається структура, що складається з частин, які подібні до цілого.

Самоподібність – одна з основних властивостей фракталів. Об'єкт називають  самоподібним, коли збільшені частини об'єкта схожі на сам об'єкт і один до одного.

Фрактальна графіка базується на фрактальній геометрії.

Найвідомішими фрактальними об’єктами є дерева: від кожної гілки відходять менші, схожі на неї, від них – ще меньші. За окремою гілкою математичними методами можна відслідкувати властивості всього дерева. Фрактальні властивості мають такі природні об’єкти, як: сніжинка, що при збільшенні виявляється фракталом; за фрактальними алгоритмами ростуть кристали та рослини.

Поява нових елементів меншого розміру відбувається за певним алгоритмом. Очевидно, що описати подібні об’єкти можна всього лише декількома математичними рівняннями!

Значення фракталів у машинній графіці сьогодні досить значне. Вони приходять на допомогу, наприклад, коли потрібно, за допомогою декількох коефіцієнтів, задати лінії і поверхні дуже складної форми. З точки зору машинної графіки, фрактальна геометрія незамінна під час генерації штучних хмар, гір, поверхні моря. Фактично знайдений спосіб легкого уявлення неевклідових об’єктів, взірці яких дуже схожі на природні.

Фрактальна графіка, як і векторна, базується на математичних обчисленнях. Однак базовим елементом є математична формула, і ніяких об'єктів у пам'яті комп'ютера не зберігається і зображення будується виключно за рівняннями. Фрактальна графіка міститься у пакетах для наукової візуалізації для побудови, як найпростіших структур так і складних ілюстрацій, що імітують природні процеси та тривимірні об'єкти.

4.2. Класифікація фракталів

 

Існують такі види фракталів:

1) геометричні,

2) алгебраїчні,

3) стохастичні,

4) системи ітеруючих функцій.

Геометричні фрактали

З геометричних фракталів почалася їх історія. Цей тип фракталів отримують шляхом простих геометричних побудов. Зазвичай під час побудови цих фракталів береться «приманка»-аксіома – набір відрізків, на підставі яких будуватиметься фрактал. Далі до цієї «приманки» застосовують набір правил, який перетворить її у будь-яку геометричну фігуру.

Фрактали цього класу самі наочні. У двомірному випадку їх отримують за допомогою деякої ломаної (чи поверхні в трьохмірному випадку), яка називається генератором. За один крок алгоритму кожен із відрізків, які складають ломану, замінюється на ломану-генератор, у відповідному масштабі. У результаті безкінечного повторення цієї процедури, отримується геометричний фрактал.

Для побудови геометричних фрактальних кривих використовуються рекурсивні алгоритми. Рекурсія використовується при вирішенні завдань, які можуть бути розкладені на декілька підзадач. Таким чином, застосування рекурсії доцільне під час побудови фрактальних кривих, оскільки вони володіють такою властивістю як самоподібність.

Прикладом такого фрактального об’єкта є тріадна крива Кох (рис. 4.1).

 

Безымянный13 

Рис. 4.1. Побудова тріадної кривої Кох

 

На ньому подано три покоління кривої. При n прямуючому до безкінечності крива Кох стає фрактальним об’єктом.

У машинній графіці застосування геометричних фракталів необхідне під час отримання зображень дерев, кущів, берегової лінії. Двомірні геометричні фрактали застосовуються для створення об’ємних текстур.

Прикладами геометричних фракталів слугують: сніжинка Коха, лист, криві і трикутник Серпинського, криві Гільберта (рис. 4.2-4-7), а також множина Кантора, крива Пєано, крива дракона, Т-Квадрат та губка Менгера.

 |

            Загальне - Основи

          Загальне - Основи

       Рис. 4.2. Сніжинка Коха

            Рис. 4.3. Лист

 

 

Рис. 4.4. Криві Гільберта

Рис. 4.5. Криві Серпинського

Рис. 4.6. Трикутник Серпинського

 

Алгебраїчні фрактали

Це найбільш значна група фракталів. Свою назву вони отримали за те, що їх будують, на основі алгебраїчних формул деколи досить простих.

Методів отримання алгебраїчних фракталів декілька. Один із методів являє собою багатократний (ітераційний) розрахунок функції , де Z – комплексне число, а f – деяка функція. Розрахунок даної функції продовжується до виконання певної умови. І коли ця умова виконається – на екран виводиться точка. При цьому значення функції для різних точок комплексної площини може мати різну поведінку: з плином часу прагне до безкінечності; прагне до 0; приймає декілька фіксованих значень і не виходить за їх межі; поведінка хаотична, без будь-яких тенденцій.

Прикладами алгебраїчних фракталів є множина Мандельброта (рис. 4.7).

Загальне - Основи

Рис. 4.7. Множина Мандельброта

 

Для побудови множини Мандельброта необхідні комплексні числа. Комплексне число – це число, що складається з двох частин, – дійсної і уявної і позначається a+bi. Дійсна частина а це звичайне число в нашому уявленні, а bi уявна частина, i – називається уявною одиницею, оскільки під час піднесення її до квадрату, отримаємо – 1.

Комплексні числа можна додавати, віднімати, перемножувати, ділити, підносити до ступеня і отримувати корінь, не можна тільки їх порівнювати. Комплексне число можна зобразити як точку на площині, біля якої координата Х дійсна частина, а Y – коефіцієнт при уявній частині b. Функціональна множина Мандельброта визначається як Zn+1=Zn∙Zn+C.

Стохастичні фрактали. Стохастичні фрактали, отримуються в тому випадку, коли в ітераційному процесі випадковим чином змінювати будь-які його параметри. При цьому отримуються об’єкти дуже схожі на природні – несиметричні дерева, врізані берегові лінії і т.д. (рис. 4.8). Моделювання рельєфу місцевості і поверхні моря. Двомірні стохастичні фрактали застосовуються під час моделювання рельєфу місцевості і поверхні моря.

4,8

 

Рис. 4.8. Стохастичні фрактали

 

Спроможність фрактальної графіки моделювати образи живої природи обчислювальним шляхом часто застосовують для автоматичної генерації незвичайних ілюстрацій.

Типовий передставник даного класу фракталів «Плазма». Для її побудови візьмемо прямокутник і для шкіряного його кута визначимо колір. Далі знаходимо центральну точку прямокутника і розфарбовуємо її у колір рівний середньому арифметичному кольорів кутів прямокутника плюс деяке випадкове число. Чим більше випадкове число – тим більш «рваним» буде малюнок. Якщо, наприклад, колір крапки це висота над рівнем моря, то отримаємо замість плазми – гірський масив. Саме на цьому принципі моделюються гори в більшості програм. За допомогою алгоритму, схожого на плазму будується карта висот, до неї застосовуються різні фільтри, накладається текстура.

Системи ітеруючих функцій (IFS – Iterated Function Systems). Ця група фракталів набула широкого поширення завдяки роботам Майкла Барнслі з технологічного інституту штату Джорджія. Він намагався кодувати зображення за допомогою фракталів. Запатентувавши декілька ідей з кодування зображень за допомогою фракталів, він заснував фірму «Iterated Systems», яка випустила перший продукт «Images Incorporated», за допомогою якого можна було переводити зображення з растрової форми у фрактальну (формат FIF). Це дозволяло добитися високих ступенів стиснення. Оскільки за низьких ступенів стиснення якість малюнків поступалася якості формату JPEG, а за високих – картинки виходили якіснішими. У будь-якому випадку цей формат не прижився, але роботи з його вдосконалення ведуться досі, бо він не залежить від роздільної здатності зображення. Оскільки зображення закодоване за допомогою формул, можна збільшити до будь-яких розмірів і при цьому з’являтимуться нові деталі, а не просто збільшиться розмір пікселів.

Загальне - Основи

Рис. 4.9. Фрактали на базі ітеруючих функцій

 

Якщо в L-systems (алгебраїчних фракталах) йшлося про заміну прямої лінії якимсь полігоном, то в IFS у ході кожної ітерації замінюємо якийсь полігон (квадрат, трикутник, круг) на набір полігонів, кожен із яких піддадуть аффінним перетворенням. За аффінних перетворень початкове зображення змінює масштаб, паралельно переноситься уздовж кожної з осей і обертається на деякий кут.

 

 

4.3. Редактори фрактальної графіки

 

Для наукової візуалізації, побудови, як найпростіших структур так і складних ілюстрацій, застосовуються редактори фрактальної графіки. Найбільш поширеними з них є Ultra Fractal, Fractal Explorer, ChaosPro, Apophysis, Mystica, Surfer, Iris Explorer, Art Dabbler, Earth Watch, Chart, Grapher, MapViewer.

Редактор Ultra Fractal відрізняється дружнім інтерфейсом, багато елементів якого нагадують інтерфейс Photoshop (що спрощує вивчення), і супроводжується неймовірно докладною і чудово ілюстрованою документацією з серією туторіалів, у яких поетапно розглядаються всі аспекти роботи з програмою. Ultra Fractal представлений двома редакціями: Standard Edition і розширеною Animation Edition, можливості якої дозволяють не тільки генерувати фрактальні зображення, але і створювати анімацію на їх основі. Створені зображення можна візуалізувати у високому розширенні, придатному для поліграфії, і зберігання у власному форматі програми чи в одному з популярних фрактальних форматів. Візуалізовані зображення також можуть бути експортовані в один з растрових графічних форматів (jpg, bmp, png і psd), а готові фрактальні анімації у AVI-формат. Принцип створення фрактальних зображень досить традиційний. Найпростішим методом є застосування формул (що розміщені у вбудованому браузері), а потім редагування параметрів формули. Останню дію легко скасувати. Готових фрактальних формул дуже багато, і їх кількість може бути розширена шляхом скачування нових формул з сайту програми. У пакеті Ultra Fractal є можливість  створювати власні формули, для чого в редакторі існує вбудований текстовий редактор, який підтримує базові шаблони, що базуються на стандартних конструкціях мови програмування фрактальних формул.

Створювати зображення фракталів з досить вражаючими можливостями дозволяє редактор Fractal Explorer. Він має інтуїтивно зрозумілий класичний інтерфейс, який може бути налаштований у відповідності з користувацькими уподобаннями, і підтримує стандартні формати фрактальних зображень: *. frp; *. frs; *. fri; *. fro; *. fr3, *. fr4 та ін. Готові фрактальні зображення зберігаються у форматі *. frs і можуть бути експортовані в один з растрових графічних форматів jpg, bmp, png і gif, у той час як фрактальні анімації зберігаються як AVI-файли. Генерація фракталів у цій програмі можлива двома способами – на основі базових фрактальних зображень, побудованих за вхідними формулами, чи з нуля. Перший варіант дозволяє отримати цікаві результати порівняно просто, оскільки вибрати відповідну формулу нескладно, тим більше що зручний файловий браузер дозволяє оцінити якість фрактала з бази ще до створення на його основі фрактального зображення. У отриманого таким шляхом фрактального зображення можна змінити колірну палітру, додати до нього фонове зображення і визначити режим змішування фрактального і фонового шарів, а також ступінь прозорості фрактального шару. Потім можна буде піддати фрактальне зображення трансформації, за необхідності масштабувати, визначити розміри зображення і провести рендеринг. Створення зображення з нуля набагато складніше і передбачає вибір одного з двох способів. Використовуючи перший спосіб можна вибрати тип фрактала майже з 150 варіантів, а потім перейти до зміни різноманітних параметрів: налаштування палітри, фону.

Згідно другого способу можливе створення своєї формули, користуючись вбудованим компілятором. Перед рендерингом готового зображення може знадобитися проведення автоматичної корекції колірного балансу чи ручної корекції яскравості, контрастності і насиченості.

Редактор ChaosPro вважається одним з кращих безкоштовних генераторів фрактальних зображень, за допомогою якого нескладно створити безліч дивовижних за красою фрактальних зображень. Програма має дуже простий і зручний інтерфейс і поряд з можливістю автоматичної побудови фракталів дозволяє повністю керувати даним процесом за рахунок зміни великої кількості налаштувань (кількості ітерацій, колірної палітри, ступеня розмиття, особливостей проектування, розміру зображення та ін.). Крім того, створюючі зображення можуть бути багатошаровими (режимом змішування шарів можна керувати) і до них можна застосувати серію фільтрів. Всі зміни, що накладаються на споруджуючі фрактали відразу ж відображаються у вікні перегляду. Створені фрактали можуть бути збережені у власному форматі програми, чи в одному з основних фрактальних типів завдяки наявності вбудованого компілятора. А також можуть бути експортовані в растрові зображення чи 3D-об'єкти (якщо попередньо було отримане тривимірне зображення фрактала). Серед можливостей програми слід відзначити точне колірне настроювання, що забезпечує плавні градієнтні переходи кольорів один у одний, одночасну побудову кількох фракталів у різних вікнах, можливість створення анімації на основі фрактальних зображень з визначенням ключових анімаційних фаз, які можуть відрізнятися будь-яким параметром, що змінюється (кутами повороту і обертання, колірними параметрами і ін.), створення тривимірних зображень фракталів на основі звичайних двовимірних зображень, підтримку багатьох стандартних форматів фрактальних зображень, зображення в яких можуть бути імпортовані і відредаговані в середовищі ChaosPro.

Цікавим інструментом для генерації фракталів на основі базових фрактальних формул є редактор Apophysis. Він дозволяє редагувати і невпізнанно змінювати створені за готовими формулами фрактали, регулюючи різноманітні параметри. Так, наприклад, у редакторі їх можна трансформувати, змінювати, застосувавши метод перетворення, який сподобався, зокрема: хвилеподібне спотворення, перспектива, розмиття за Гаусом та ін. Є можливість експериментувати з кольорами, вибравши один із базових варіантів градієнтної заливки. Список вбудованих заливок досить значний, і за необхідності можна автоматично підібрати найбільш прийнятну заливку до наявного растрового зображення, що доцільно, наприклад, під час створення фрактального фону в тому ж стилі, що й інші зображення якогось проекту. За необхідності нескладно підрегулювати гаму і яскравість, змінити фон, масштабувати фрактальний об'єкт і уточнити його розташування на фоні. Крім цього можна піддати результат різноманітним мутаціям у потрібному стилі і записати його візуалізований варіант у вигляді графічного файла (jpg, bmp, png).

Універсальним генератором унікальних фантастичних двовимірних і тривимірних зображень і текстур, які можна використовувати в різних проектах є редактор Mystica. Наприклад, у якості реальних текстур для Web-сторінок, фонів робочого столу чи фантастичних фонових зображень, які можуть бути задіяні, наприклад, під час оформлення дитячих книг. Пакет відрізняється нестандартним і досить складним інтерфейсом і може працювати в двох режимах: Sample (орієнтований на новачків і містить мінімум налаштувань) і Expert (призначений для професіоналів). Створюючі зображення можуть мати будь-який розмір і потім експортуватися в популярні графічні 2D-формати. Просто з вікна програми їх можна надіслати електронною поштою, опублікувати в Html-галереї чи створити на їх основі відеоролик у форматах divx, mpeg4 і ін. Генерація зображень здійснюється на основі закладених у пакеті фрактальних формул, а система підготовки зображення багаторівнева та включає дуже докладну настройку кольорів, можливість найпростіших трансформацій, генерування елементів і масу інших перетворень, зокрема: застосування фільтрів, зміна освітлення, коректування колірної гами, яскравості і контрастності, зміна використаного під час генерації матеріалу, щоб додати до зображення "хаотичних" структур та ін.

Отже, редактори Ultra Fractal, Fractal Explorer, ChaosPro, Apophysis, Mystica, Surfer найбільш широко застосовуються у фрактальній графіці. Зокрема, для задання лінії і поверхні дуже складної форми за допомогою декількох коефіцієнтів.

Редактор фрактальної графіки Iris Explorer розроблений фірмою Graphics призначений для створення моделей погодних умов і океану.

Система IRIS DATA EXPLORER, або просто EXPLORER, це продукт, що функціонує в середовищі UNIX (для станцій SGI) і Windows NT (для станцій на платформі Pentium). Основою системи є графічний інтерфейс OpenGL, що забезпечує реалізацію рендерингу. Специфікація системи визначає її предметну галузь, зокрема як візуалізацію даних, так і обробку зображень і створення продукції мультимедіа. У складі системи EXPLORER є засоби, що підтримують повний цикл розробки додатків із обробки даних. Проте основним завданням є візуальне компонування. У зв’язку з цим система відноситься до класу систем швидкої розробки додатків (RAD Rapid Application Development) і прототипування. У користувацькому та програмному інтерфейсі EXPLORER чітко витримується об'єктно-орієнтований підхід і модульність. У системі визначені всього п'ять базових типів даних, зокрема: Lattice, Pyramid, Geometry, Parameter і Pick. Lattice це основний тип для представлення даних, що візуалізуються. Він містить числові масиви, що описують сітку, масиви значень і розмірності масивів. Pyramid ієрархія даних типу Lattice разом з інформацією про те, як наступний рівень будується з попереднього. Цей тип використовується для компактного представлення кінцево-елементних і молекулярних даних. EXPLORER містить засоби для роботи з молекулярними даними в форматі Brookhaven Protein DataBase. Geometry геометричне уявлення об'єктів, що складається з примітивів: полігонів, ліній і точок. Parameter скалярні дані, які керують роботою програми, але можуть інтерактивно змінюватися. Pick представляє інформацію, що виводяться на екрані. Редактор можна розглядати, як послідовність перетворювачів (модулів), які застосовуються до даних цих типів. На першому етапі вхідні масиви даних, які можуть бути введені, наприклад, з файлів довільної структури, перетворюються в дані типу Lattice або Pyramid. На останньому кроці проводиться перетворення в тип Geometry, який, власне, візуалізується. Згідно форм візуального представлення даних існують різні способи такого перетворення. У всьому ланцюжку перетворень беруть участь тільки дані п'яти вказаних типів, які параметризовані і мають підтипи.

Функціональною одиницею користувацького інтерфейсу є модуль обробки даних, тобто виконуюча програмна одиниця, реалізована на мові програмування Сі або Fortran. Вона має вхідні і вихідні параметри, які називаються в системі EXPLORER портами. Візуально модуль представляється користувачу у вигляді керуючої панелі, яка залежно від необхідної деталізації може мати три стани: мікро, міні та максі.

Скороченим варіантом програми Painter є редактор Art Dabbler (створений фірмою Fractal Design, що тепер належить Corel). Його призначенням є навчання не тільки комп'ютерній графіці, але й азам малювання. Малий об'єм необхідної пам'яті (10 Мбайт), а також простий інтерфейс, дозволяє використовувати його у шкільній програмі. Рядок меню редактора включає в себе шість пунктів, які є стандартними для більшості програм: File, Edit і Help, а також Effects, Options і Tutors, що присутні в більшості графічних програм і не потребують додаткових пояснень. Art Dabbler надає комплект ефектів (меню Effects), які можуть бути використані для зміни чи спотворення зображень. Наприклад, ефект Texturize створює текстури паперу, полотна тощо, розширюючи творчі можливості художника.

Редактор фрактальних зображень Earth Watch  був розроблений фірмою Earth Watch, його призначенням є моделювання та демонстрація тривимірного зображення метеоумов над Землею, побудова топологічних поверхонь за космічними знімками і прогнозування погоди на тиждень вперед. Модуль Chart у стандартному пакеті MS Office дозволяє легко й наочно створити графіки на основі даних, що знаходяться у таблиці. Користувач може перетворити графіки у будь-яку з п’яти основних форм графіків: гістограму, лінії, площі, в полярних координатах, поверхні. Також, під час зміни даних у таблиці, змінюється відповідне значення на графіку.

Серед програмних засобів фрактальної графіки можна виділити продукти фірми Golden SoftWare: Surfer, Grapher, Map Viewer.

Пакет наукової графіки Surfer призначений для інтерполяції, апроксимації і візуалізації функцій двох змінних, а також полів, заданих у точках на плоскій області.  Він має зручні засоби для відображення у вигляді ліній рівня (ізоліній) і у вигляді поверхонь. Surfer 7.0 вважається застарілим, проте його перевагою є те, що він встановлюється безпосередньою вставкою файлу виконуючої програми Surfer.exe у будь-яку папку, а не через процедуру встановлення, яка вимагає сповіщення серійного номеру. Запускати Surfer.exe треба з цієї папки. Surfer 8 зручніший в користуванні та має більш розвинені засоби. Об’єктами відображення у свою чергу є: функція двох змінних; поле, що створюється окремими точками на площині. А відображенями у Surfer 7.0 виступають: ізолінії (Contour); відтінки кольорів (Image); поверхні (Wireframe); винесені на площину точки, при необхідності у супроводженні значень z (Post). Функції в Surfer можуть вживатися у командах: Grid – Function, Grid – Math і деяких інших. Найбільш вживаними функціями є: sin(x), cos(x), tan(x), asin(x), acos(x), arctg(y/x), exp(x), sinh(x), cosh(x), tanh(x), ln(x), log10(x), pow(x,y), min(x,y), max(x,y), randn(x,y), randu(x), ceil(x), floor(x), sqrt(x), fabs(x), fmod(x,y), d2r(x), r2d(x). Також вживаються булівські чи логічні вирази – вирази, які можуть приймати значення логічних констант true або false. Логічний вираз складається з логічних операндів, з’єднаних знаками логічних операцій and, or, xor, not („і”, „або”, виключаюче „або”, „ні” – заперечення). Логічний операнд, у загальному випадку також логічний вираз, найчастіше є логічним відношенням. Логічне відношення – це два арифметичних вирази, з’єднані знаком логічного відношення: =, <>, <, >, <=, >=.

Редактор Grapher, призначений для математичної і графічної обробки даних, що описуються одновимірною функцією y= f ( x). Подібні можливості є в багатьох пакетах, пов’язаних з обробкою числової інформації (електронні таблиці, програми статистичного аналізу), але на практиці їх можливостей часто виявляється недостатньо для розв’язку спеціалізованих задач (обмеження на складність графіків, типи зображень і т.п.). Розглядаючи функціональні можливості Grapher 2.0, треба передусім відмітити, що в ньому немає обмежень ні у кількості графіків на одному малюнку, ні у кількості кривих на одному графіку, причому кожна крива може містити до 32 тис. точок (X, Y). На одному графіку дозволяється розміщувати декілька осей з різними масштабами і одиницями вимірювання даних. Дуже зручний режим представлення даних можна реалізувати у вигляді зображення декількох осей Y з однією загальною віссю X. Самі графіки виводяться як з горизонтальним положенням осі X, так і з вертикальним. На графіку дозволяється використовувати не тільки лінійні і логарифмічні, але і осі ймовірностей в різних комбінаціях. При цьому розмітка осей, виведення і легенди виконуються автоматично чи задаються користувачем. Для виводу застосовується декілька типів графіків: лінійні, символьні, діаграми.

Для всіх типів графіків реалізоване керування товщиною, кольором і стилем будь-яких ліній, використання готових стилів і створення своїх власних. Набір вбудованих інструментів малювання дозволяє наносити на графік спеціальні елементи малюнка (кола, прямокутники, лінії та інше). За допомогою стандартних маніпуляцій мишею можна легко змінювати розмір і положення зображення, масштабувати його для більш детального вивчення, додавати текстові пояснення, легенду і додаткові графічні зображення, в тому числі імпортовані з інших програмних продуктів. Графіки можуть будуватися на основі наборів точкових (дискретних) значень X, Y (меню Graph: New Graph/Line\Symbol) і функцій типу, y= f ( x), що задаються користувачем, або параметричних рівнянь вигляду, y= x (t ), x = x (t) (меню Graph: New Graph/Function). Пакет дозволяє імпортувати набори вихідних даних з файлів форматів DAT і SLK, а також з файлів електронних таблиць Excel. Відкоректовані значення запам’ятовуються в форматах DAT і SLK. Для апроксимації експериментальних даних кривими є такі методи апроксимації: лінійний, логарифмічний, степеневий, експоненціальний, поліноміальний. Для вибору методу апроксимації застосовується пункт Properties та вибирається закладка Fits.

Дані для різних кривих одного графіка дозволяється брати як з одного файлу (наприклад, з його різних рядків або стовпців), так і з декількох. Останній варіант дуже зручний під час обробки результатів серії експериментів, кожен з яких характеризується своїм набором даних. Пакет має вбудовану електронну таблицю, що дозволяє коректувати, сортувати, перетворювати дані і обчислювати їх статистичні характеристики. Також на основі декількох колонок даних можна заповнювати інші, користуючись вбудованими функціями. Багатовіконний інтерфейс пакету забезпечує ефективну настройку робочого середовища. Наприклад, на екран можна одночасно вивести два вікна, в одному з яких буде електронна таблиця, а в іншому – графік, і під час редагування даних графік буде автоматично оновлюватися. Для переходу від графіка до електронної таблиці треба тільки натиснути кнопку миші. Окрім цього, вбудовані функції можна використовувати під час побудови заданих функціональних залежностей y = f (x), про які говорилося вище. У пакет вбудовано текстовий редактор для створення текстових блоків, що включає спеціальні засоби введення математичних формул. Сформовані зображення зберігаються у файлах формату GRF. Існує можливість оперативно відображати заданий регіон (ділянки) графіка, а також функцію трасування – можливості візуально переглянути процес побудови графіка переміщуючи повзунок у відповідному діалоговому вікні, а також відображається і значення функції у цій точці. Передбачена можливість обчислення визначеного інтеграла з функцією визначення як числового значення, так і отримання області, що інтегрується (за якою визначається площа).

Редактор MapViewer у свою чергу є високопродуктивним і точним інструментом для візуалізації та аналізу географічної числової інформації за допомогою побудови інформативних тематичних карт. Використовуючи його, консультанти в області ГІС-систем, вчені та картографи, керівники і аналітики підприємств можуть проводити геологічні, екологічні та епідеміологічні дослідження, виконувати аналіз ринку, готувати матеріали для презентацій і звітів та інше.

Основними функціями редактора є: представлення зображень в різних географічних проекціях, зокрема для перетворення сферичних координат земної кулі в прямокутну декартову систему координат карти, для більш точного уявлення кордонів. Такі перетворення особливо потрібні для накладання зображень, представлених у різних проекціях; карти вихідних зображень можна імпортувати з файлів різних форматів: DXF, LGS, STD, BLN, CLP, PLT, TIF, PCX, WPG, JPG, DCX, BNA, LGO, OPT, DLG, BND, WMF, BMP, GIF і PCT, а результуючі дані експортувати у формати GSB, DXF, CLP, BMP, PCX, WPG, PCT, WMF, BNA, CGM, TIF, TGA, GIF, JPG і DCX.

До складу пакету входить великий набір векторних карт у форматі GSB: карти США, її найбільших міст, окремих штатів, автомагістралей, карти Канади, Мексики та Росії, а також межі країн на картах материків. На Web-сайті фірми Golden Software розміщений архів карт з вільним доступом, який постійно доповнюється.

Для введення і перетворення числової інформації, її сортування і розрахунку статистичних характеристик у пакеті є повнофункціональна електронна таблиця.