Оптика.

Приклади розв’язування задач

Задача 1. Для усунення відбивання світла від поверхні лінзи на неї наноситься тонка плівка речовини з показником заломлення 1,25, меншим, ніж у скла (просвітлена оптика). При якій найменшій товщині плівки відбивання світла з довжиною хвилі 0,72 мкм не буде спостерігатися, якщо кут падіння променів 60°?

Розв'язання

Оптична різниця ходу променів, відбитих від нижньої і верхньої поверхонь плівки (рис. 25),

(1)

У виразі (1) враховано, що відбивання променів на обох поверхнях походить від оптично більш щільного середовища і тому втрати

півхвилі в обох випадках компенсують один одного. Умова інтерференційного мінімуму:                

Підставляючи (1) у (2), одержуємо:                      (3)

 

рис.25

    З (3) знайдемо можливі значення товщини плівки:                        (4)

 

Найменша товщина плівки спостерігається при m=1:

 

.

 

Задача 2. Поверхні скляного клина утворюють між собою кут α=0,1΄. На клин падає нормально до його поверхні пучок монохроматичних променів (рис.26), довжина хвиль яких λ=0,5мк. Знайти лінійну відстань між інтерференційними смугами.

 

 Розв'язання

 

У цій задачі кут падіння променів на поверхню дорівнює нулю, тому різниця ходу приблизно дорівнює:                                

де n – показник заломлення скла. Нехай точкам С₁ і С₂ відповідають дві сусідні світлі смуги, тоді для різниці ходу        

 

рис.26

   

Δ₁ і Δ₂ у цих точках матимемо:  

 

 

де d₁ і d₂ – товщина клина в місцях С₁ і С₂ (вважаємо, що d₂<d₁). Віднімаючи почленно ці дві рівності, знайдемо:   ,

звідки:

 

        Якщо позначити через  шукану відстань між смугами, то, як видно з рисунка,  

 

де кут α виражається в радіанах. Підставивши сюди замість різниці d₁ – d₂ її значення , знайдемо:  

 

Задача 3. Постійна дифракційної ґратки 10 мкм, її ширина 2 см. У спектрі якого порядку ця ґратка може розділити дублет λ₁=486,0 нм і λ₂=486,1 нм?

Розв'язання

Роздільна здатність дифракційної ґратки: ,                      (1)

де  — мінімальна різниця довжин хвиль двох  спектральних ліній λ і λ+ , що розділяються ґраткою; т — порядок спектра; N —

число щілин ґратки. Тому що постійна ґратки d є відстань між серединами сусідніх щілин, тоді:                        (2)

де   — ширина ґратки. З формули (1) з урахуванням (2) знаходимо:                     (3)

Дублет спектральних ліній λ₁ і λ₂ буде розділятися, якщо: ,                        (4)

Підставляючи (3) у (4), з урахуванням того, що λ = λ₁ одержуємо:  .                     (5)

З виразу (5) випливає, що дублет λ₁ і λ₂ буде дозволений у всіх спектрах з порядком: .

Проводячи обчислення,одержуємо:  

 

Враховуючи, що т повинно бути цілим числом, вважаємо т .

 

Задача 4. Природне світло падає на поверхню діелектрика під кутом повної поляризації. Ступінь поляризації заломленого променя складає 0,124. Знайти коефіцієнт пропускання світла.

 Розв'язання

Природне світло можна представити, як накладення двох некогерентних хвиль, поляризованих у взаємно перпендикулярних площинах і які мають однаковій інтенсивності: I׀׀=I┴,                              (1)  

де індекси ׀׀ і ┴ позначають коливання, паралельні і перпендикулярні до площини падіння світла на поверхню діелектрика, причому інтенсивність падаючого світла:   I= I_׀׀+ I_┴  .                        (2)  

При падінні світла під кутом повної поляризації відбиваються тільки хвилі, поляризовані в площині, перпендикулярній площині падіння. У заломленій хвилі переважають коливання, паралельні до площини падіння. Інтенсивність заломленої хвилі:  

I΄΄= I_׀׀΄΄+ I_┴΄΄ .                       (3)  

Складові інтенсивності заломленої хвилі: I_׀׀΄΄= I_׀׀,   I_┴΄΄= I_┴– I΄ ,              (4)

де I΄ — інтенсивність відбитого світла. Ступінь поляризації переломленого променя:

 

 .          (5)

 

З урахуванням рівностей (4) і (1) вираз (5) можна представити у виді:  .                           (6)

Коефіцієнт пропускання світла:  ,                   (7)

чи з урахуванням вираження (6):

Проводячи обчислення, одержуємо:

 

Задача 5. Інтенсивність природного світла, що пройшло через поляризатор, зменшилася в 2,3 раза. В скількох разів вона зменшиться, якщо за першим поставити другий такий же поляризатор так, щоб кут між їх головними площинами був рівнний 60⁰?

 

Розв'язання

Природне світло можна представити, як накладання двох некогерентних хвиль, поляризованих у взаємно перпендикуляр-них площинах і які мають однакові інтенсивності. Ідеальний поляризатор пропускає коливання, паралельні його головній площині, і повністю затримує коливання, які перпендикулярні до цієї площини. На виході з першого поляризатора одержується плоскополяризоване світло, інтенсивність якого з урахуванням втрат на відбивання і поглинання світла поляризатором дорівнює:

I₁=1/2 I₀ (1-k) ,                     (1)

 

де I₀ — інтенсивність природного світла; k — коефіцієнт, що враховує втрати на відображення і поглинання. Після проходження другого поляризатора інтенсивність світла зменшується як за рахунок відбивання і поглинання світла поляризатором, так і через неспівпадіння площини поляризації світла з головною площиною поляризатора. Відповідно до закону Малюса і з урахуванням втрат на відбивання і поглинання світла, ця інтенсивність дорівнює:                  (2)

де α — кут між площиною поляризації світла, що паралельна головній площині першого поляризатора, і головною площиною другого поляризатора. Знайдемо в скільки разів зменшилася інтенсивність світла:   .             (3)

З виразу (1) знайдемо:  ,                       (4)

Підставляючи (4) в (3), одержуємо:

 

 

Задача 6. Довжина хвилі, на яку припадає максимум енергії у спектрі випромінювання абсолютно чорного тіла, . Визначити енергетичну світимість (випромінюваність)  поверхні тіла.

Розв'язання

Енергетична світимість  абсолютно чорного тіла у відповідності з законом Стефана-Больцмана пропорційна четвертій степені термодинамічної температури та виражається формулою

                                                                              (1)

де – стала Стефана-Больцмана; – термодинамічна температура.

Температуру  можна обчислити за допомогою закону зміщення Віна:                     (2)

де – постійна Віна.

Використовуючи формули (2) та (1), отримаємо                        (3)

Обчислимо вираз:

 

Задача 7. В результаті ефекту Комптона фотон при співударі з електроном був розсіяний на кут . Енергія розсіяного фотона
. Визначити енергію фотона  до розсіювання.

Для визначення енергії первинного фотона використаємо формулу Комптона:        

            (1)

де – зміна довжини хвилі фотона в результаті розсіяння на вільному електроні; – стала Планка; – маса спокою

електрона; – швидкість світла у вакуумі; – кут розсіяння фотона.

Перетворимо формулу (1):

1) замінимо у ній  на ;

2)виразимо довжини хвиль  та  через енергії  та  відповідних фотонів, скориставшись формулою ;

3) помножимо чисельник та знаменник правої частини на . Тоді

Скоротимо на  та виразимо з цієї формули шукану енергію:                   (2)

 

де – енергія спокою електрона.

 

Так як для електрона , то