5.4. Постановка задачі оптимального управління під час оптимізації технологічних систем

Нехай, заданий об'єкт із вхідними незалежними величинами X (x₁, x₂,…,x_m) (включають у себе керуючі величини U (u₁, u₂, …, u_r ), якими в області їх зміни можна розпоряджатися на свій розсуд, і збурюючі реєстровані величини V (v₁, v₂, …, v_s ) якими в процесі управління розпоряджатися неможна, але можна виміряти їх у будь-який поточний момент часу); незалежними збурюючими не реєструючими величинами N (n₁, n₂, … ) і вихідними залежними величинами Y (y₁, y₂, …, y_n ).

Нехай, крім того, заданий цільовий функціонал:

G=G(U, V, Y, t)*, (5.1)

в якому U, V і Y в загальному випадку є функціями часу і який за обраного управління U на відрізку часу , а також отриманих V і Y характеризує деякий «дохід» (або «втрати») , розуміючи останній в широкому сенсі слова. Однак функціонал (1) не може слугувати показником якості управління, оскільки в реальному об'єкті за обраного U величини V і Y є випадковими, а отже, і функціонал (5.1) є випадковою величиною. За такий показник за відомого V можна взяти математичне очікування величини G по Y:

(5.2)

Ми припускаємо, що щільність розподілу Y відома і можна визначити. Однак це можливо, як правило, лише в ідеальних умовах. Насправді будемо на підставі спостережень про поведінку Y прогнозувати **) його щільність розподілу і замість матимемо лише деяку його оцінку , яка, відповідно, буде випадковою. Таким чином, відповідно до теорії статистичних рішень про якість управління можна буде судити лише на підставі значень деякої функції ризику

)], (5.3)

де l() - функція втрат, * (параметр t у виразі для G означає, що мета управління може змінюватися з плином часу) - максимальне або мінімальне (в залежності від змісту по U значення функціоналу (5.2) при заданому V. Функцію втрат l можна вибрати різними способами. Наприклад, в якості l можна взяти будь-яку з безлічі монотонно зростаючих адитивних функцій аргументів [_*], [] т. т. функція ризику r (U, V, l) є сумою двох складових, які представляють собою ризик за рахунок неточності апроксимації функціоналом і ризик за рахунок неправильного вибору управлінь (відмінних від управлінь, на яких досягається _*). Тому r(U, V, l) можна назвати узагальненим ризиком.

Функціонал (5.3) також є оцінкою невідомого функціоналу. Однак застосування його є вже певною спробою оцінки близькості знайдених управлінь до початкових. Можна, звичайно, користуватися і оцінкою математичного очікування (2), якщо відомо, що досить добре апроксимує і відома оцінка цієї апроксимації.

Зазвичай в реальних процесах V змінюється досить повільно і показники якості виду (5.2) і (5.3) часто є ефективними і можуть бути використані під час побудови алгоритмів оптимізації управління.

У загальному випадку метою оптимального управління виробничим процесом є досягнення екстремуму показника якості, т.т. його мінімуму чи максимуму в залежності від конкретного завдання. Тому функціонали виду (5.2), (5.3) називають також критеріями оптимальності.

Зазначені вище критерії оптимальності забезпечують найкращу якість управління в середньому і не є єдино можливими. Наприклад, замість (5.2) можна взяти середнє значення величини G по Y для очікування найгіршого випадку величини V. Аналогічно можна врахувати і виконання довільної зміни Y, т.т. не усереднювати G, а прийняти показник (5.1) для найгіршого значення Y. Такий критерій забезпечує найкращий результат управління в порівнянні з іншими лише в найгіршому випадку. Він був введений в теорії ігор у припущенні, що гравець веде боротьбу з розумним противником, очікує від нього максимального збитку і повинен бути готовим до найкращих дій в самій несприятливій обстановці. Однак у задачах управління (які можна розглядати як «гру» людини з природою) свідоме прагнення заподіяти шкоду з боку природи відсутня. Тому в таких завданнях останній критерій може виявитися надмірно песимістичним, якщо в дійсності найгірші умови роботи зустрічаються рідко. Більше того, в деяких випадках може виявитися ефективним критерій, за змістом прямо протилежний попередньому, т.т. критерій, який забезпечує найкращий результат управління в порівнянні з іншими лише в найкращому випадку.

Можливі також і інші показники якості управління.

Підкреслимо, що не можна ставити завдання одночасного досягнення екстремуму двох або більше функціоналів. Можна ставити задачу досягнення екстремуму одного функціоналу, але при цьому накладати додаткові умови щодо обмеження інших функціоналів.

Питання вибору, побудови таких функціоналів виходять за рамки математичної теорії, визначаються техніко-економічними міркуваннями і розглядатися не будуть. Відзначимо тільки, що вибір критерія оптимальності залежить від тих вимог, які пред'являються до керованого процесу. Сенс і значення цільового функціоналу залежать також від обсягу і рівня автоматизації об'єкта управління. Крім того, вибір цільового функціоналу певного виду (5.2), (5.3) і ін. залежить і від ступеня вивченості об'єкта: чи відома швидкість зміни реєструючих величин, чи відомі апріорні розподіли випадкових величин у процесі і т.д.

У будь-якому реальному процесі U і Y не можуть приймати довільних значень, а підпорядковані деяким обмеженням. Нехай такими обмеженнями будуть:

m_s ≤ u_s(𝜏) ≤ M_s , s= (5.4)

l_i ≤ y_i(𝜏) ≤ L_i , i=. (5.5)

Ці обмеження мають широке поширення, хоча можливі й іншого виду обмеження. Наприклад обмеження на частотні властивості вихідних величин, на похідні вхідних і вихідних величин до деякого порядку, на функції від декількох вхідних або вихідних величин і т.д.