ТЕМА 6. ОПТИМІЗАЦІЙНІ ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ.

1.   Формулювання задачі оптимального планування.

2.   Економіко-математична модель задачі оптимального планування.

3.   Класифікація задач оптимального планування.

1.     Формулювання задачі оптимального планування.

Задачі оптимального планування, які в математиці називають задачами математичного програмування, полягають у відшуканні оптимального розв’язку. Оптимальний розв’язок – це найкращий розв’язок за певним критерієм при заданих обмеженнях.

Прикладами задач оптимального планування є:

а) з точки зору виробника – оптимізація виробничої програми: при наявних виробничих ресурсах і заданих нормативах витрат визначити такий план виробництва (виробничу програму), який би забезпечив отримання максимального економічного ефекту;

б) з точки зору споживача – задача раціонального ведення господарства споживачем: яку кількість кожного товару (послуги) він має придбати при заданих цінах і відомому рівні доходу, щоб забезпечити максимальний рівень добробуту.

2.     Економіко-математична модель задачі оптимального планування.

В загальному випадку задача оптимізації, яка включає три компоненти (цільову функцію F, обмеження h_i і граничні умови), має таку математичну постановку:

;

;

………………………………

; (6.1)

………………………………

;

; ; ,

де і – нижнє і верхнє гранично допустимі значення .

Можна також записати задачу (6.1) в більш загальній компактній формі:

;

; (6.2)

; ; .

Змінні (), які задовольняють задані граничні умови і обмеження, називають допустимим розв’язком задачі. Якщо задача складена вірно, то в загальному випадку вона має набір допустимих розв’язків. Задача полягає у відшуканні оптимального розв’язку (від лат. optimus – найкращий).

Критерій оптимальності виражають цільовою функцією F, або функцією цілі. Критерій в загальному випадку може оцінювати якісні властивості об’єкта, причому як бажані для суб’єкта (зазвичай з максимальним рівнем . Наприклад, прибуток, рентабельність, продуктивність, надійність та ін.), так і небажані для нього (або мінімальні . Наприклад, невиробничі витрати, витрати матеріалів, собівартість, час простою обладнання, втрати від браку та ін.).

Можливі три види визначення цільової функції:

-              максимізація;

-              мінімізація;

-              визначення заданого значення.

Обмеження зазвичай виражають певні залежності між змінними величинами.

Граничні умови показують гранично допустимі значення шуканих змінних, і в загальному випадку вони можуть бути двосторонніми .

3.     Класифікація задач оптимального планування.

Поєднання різноманітних елементів моделі утворює різні класи задач оптимізації, які потребують різних методів розв’язання і різних програмних засобів (таблиця 6.1).

Таблиця 6.1

Найбільш поширені задачі оптимального планування

Вихідні дані	Змінні	Залежності	Задачі оптимізації
1	2	3	4
Детерміновані або постійні	Неперервні	Лінійні	Лінійного програ-мування
	Цілочислові		Цілочислового програмування
	Неперервні, цілочислові	Нелінійні	Нелінійного програмування
Стохастичні або випадкові	Неперервні	Лінійні	Стохастичного програмування