ПРАКТИЧНА РОБОТА № 5

Тема: Множинна регресії в фінансовому прогнозуванні

Мета роботи: отримання практичних навичок множинного регресійного аналізу для автоматизованого пошуку раніше невідомих закономірностей даних з подальшим використанням отриманої інформації для підготовки управлінських рішень на основі побудованого прогнозу.

Обладнання: ПК.

Програмне забезпечення для ЕОМ: MS Excel, MathCAD.

Завдання 1. Множинна регресія

Фірмі “А” необхідно отримати прогноз обсягів продажу одягу на 4 квартали вперед. Дані про обсяги їх продажу за попередні 20 кварталів, а також дані виробничих витрат, витрат на рекламу, інших витрат надані в таблиці 5.1 (студент обирає свій варіант).

1. Побудувати рівняння множинної регресії від 4 факторів: виробничих витрат, витрат на рекламу, інших витрат і часу.

2. Провести відбір регресорів для моделі, для чого здійснити розрахунок 95% довірчого інтервалу для b та коефіцієнту детермінації.

3. Побудувати оптимальну модель множинної регресії для початкових даних і обґрунтувати вибір відповідних регресорів. Зробити прогноз на 4 квартали уперед. Зробити висновки.

Таблиця 5.1 – Обсяг продажу одягу за варіантами

1 варіант
Порядковий № кварталу, Х(5)	Обсяг продажу, Y	Виробничі витрати, X(2)	Витрати на рекламу, X(3)	Інші витрати, X(4)
1	207	150,7	9	41,4
2	209	150	9,1	41,8
3	204	150	9,7	40,8
4	214	150	10	42,8
5	215	150	9	43
6	234	150	10	46,8
7	244	150	10	48,8
8	254	150,1	10,1	50,8
9	253	150	10	50,6
10	263	152	10	52,6
11	259	150,1	10	51,8
12	272	152	10	54,4
13	254	150	10	50,8
14	265	150	10	53
15	268	151,2	10,1	53,6
16	270	151,1	10,2	54
17	248	151	10	49,6
18	250	150	9	50
19	255	150	9	51
20	240	151	9	48

2 варіант
Порядковий № кварталу, Х(5)	Обсяг продажу, Y	Виробничі витрати, X(2)	Витрати на рекламу, X(3)	Інші витрати, X(4)
1	258,75	150,70	38,81	25,88
2	261,25	150,00	39,19	26,13
3	255,00	150,00	38,25	25,50
4	267,50	150,00	40,13	26,75
5	268,75	150,00	40,31	26,88
6	292,50	150,00	43,88	29,25
7	305,00	150,00	45,75	30,50
8	317,50	150,10	47,63	31,75
9	316,25	150,00	47,44	31,63
10	328,75	152,00	49,31	32,88
11	323,75	150,10	48,56	32,38
12	340,00	152,00	51,00	34,00
13	317,50	150,00	47,63	31,75
14	331,25	150,00	49,69	33,13
15	335,00	151,20	50,25	33,50
16	337,50	151,10	50,63	33,75
17	310,00	151,00	46,50	31,00
18	312,50	150,00	46,88	31,25
19	318,75	150,00	47,81	31,88
20	300,00	151,00	45,00	30,00
Продовження таблиця 5.1 – Обсяг продажу одягу за варіантами
3 варіант
Порядковий № кварталу, Х(5)	Обсяг продажу, Y	Виробничі витрати, X(2)	Витрати на рекламу, X(3)	Інші витрати, X(4)
1	207	188,38	9	41,4
2	209	187,5	9,1	41,8
3	204	187,5	9,7	40,8
4	214	187,5	10	42,8
5	215	187,5	9	43
6	234	187,5	10	46,8
7	244	187,5	10	48,8
8	254	187,63	10,1	50,8
9	253	187,5	10	50,6
10	263	190	10	52,6
11	259	187,63	10	51,8
12	272	190	10	54,4
13	254	187,5	10	50,8
14	265	187,5	10	53
15	268	189	10,1	53,6
16	270	188,88	10,2	54
17	248	188,75	10	49,6
18	250	187,5	9	50
19	255	187,5	9	51
20	240	188,75	9	48
4 варіант
Порядковий № кварталу, Х(5)	Обсяг продажу, Y	Виробничі витрати, X(2)	Витрати на рекламу, X(3)	Інші витрати, X(4)
1	207	195,91	51,75	41,4
2	209	195	52,25	41,8
3	204	195	51	40,8
4	214	195	53,5	42,8
5	215	195	53,75	43
6	234	195	58,5	46,8
7	244	195	61	48,8
8	254	195,13	63,5	50,8
9	253	195	63,25	50,6
10	263	197,6	65,75	52,6
11	259	195,13	64,75	51,8
12	272	197,6	68	54,4
13	254	195	63,5	50,8
14	265	195	66,25	53
15	268	196,56	67	53,6
16	270	196,43	67,5	54
17	248	196,3	62	49,6
18	250	195	62,5	50
19	255	195	63,75	51
20	240	196,3	60	48
Продовження таблиця 5.1 – Обсяг продажу одягу за варіантами
5 варіант
Порядковий № кварталу, Х(5)	Обсяг продажу, Y	Виробничі витрати, X(2)	Витрати на рекламу, X(3)	Інші витрати, X(4)
1	207	150,7	16,56	10,35
2	209	150	16,72	10,45
3	204	150	16,32	10,2
4	214	150	17,12	10,7
5	215	150	17,2	10,75
6	234	150	18,72	11,7
7	244	150	19,52	12,2
8	254	150,1	20,32	12,7
9	253	150	20,24	12,65
10	263	152	21,04	13,15
11	259	150,1	20,72	12,95
12	272	152	21,76	13,6
13	254	150	20,32	12,7
14	265	150	21,2	13,25
15	268	151,2	21,44	13,4
16	270	151,1	21,6	13,5
17	248	151	19,84	12,4
18	250	150	20	12,5
19	255	150	20,4	12,75
20	240	151	19,2	12
6 варіант
Порядковий № кварталу, Х(5)	Обсяг продажу, Y	Виробничі витрати, X(2)	Витрати на рекламу, X(3)	Інші витрати, X(4)
1	186,3	150,7	9	41,4
2	188,1	150	9,1	41,8
3	183,6	150	9,7	40,8
4	192,6	150	10	42,8
5	193,5	150	9	43
6	210,6	150	10	46,8
7	219,6	150	10	48,8
8	228,6	150,1	10,1	50,8
9	227,7	150	10	50,6
10	236,7	152	10	52,6
11	233,1	150,1	10	51,8
12	244,8	152	10	54,4
13	228,6	150	10	50,8
14	238,5	150	10	53
15	241,2	151,2	10,1	53,6
16	243	151,1	10,2	54
17	223,2	151	10	49,6
18	225	150	9	50
19	229,5	150	9	51
20	216	151	9	48
Продовження таблиця 5.1 – Обсяг продажу одягу за варіантами
7 варіант
Порядковий № кварталу, Х(5)	Обсяг продажу, Y	Виробничі витрати, X(2)	Витрати на рекламу, X(3)	Інші витрати, X(4)
1	186,3	150,7	9	22,36
2	188,1	150	9,1	22,57
3	183,6	150	9,7	22,03
4	192,6	150	10	23,11
5	193,5	150	9	23,22
6	210,6	150	10	25,27
7	219,6	150	10	26,35
8	228,6	150,1	10,1	27,43
9	227,7	150	10	27,32
10	236,7	152	10	28,4
11	233,1	150,1	10	27,97
12	244,8	152	10	29,38
13	228,6	150	10	27,43
14	238,5	150	10	28,62
15	241,2	151,2	10,1	28,94
16	243	151,1	10,2	29,16
17	223,2	151	10	26,78
18	225	150	9	27
19	229,5	150	9	27,54
20	216	151	9	25,92
8 варіант
Порядковий № кварталу, Х(5)	Обсяг продажу, Y	Виробничі витрати, X(2)	Витрати на рекламу, X(3)	Інші витрати, X(4)
1	186,3	150,7	22,36	41,4
2	188,1	150	22,57	41,8
3	183,6	150	22,03	40,8
4	192,6	150	23,11	42,8
5	193,5	150	23,22	43
6	210,6	150	25,27	46,8
7	219,6	150	26,35	48,8
8	228,6	150,1	27,43	50,8
9	227,7	150	27,32	50,6
10	236,7	152	28,4	52,6
11	233,1	150,1	27,97	51,8
12	244,8	152	29,38	54,4
13	228,6	150	27,43	50,8
14	238,5	150	28,62	53
15	241,2	151,2	28,94	53,6
16	243	151,1	29,16	54
17	223,2	151	26,78	49,6
18	225	150	27	50
19	229,5	150	27,54	51
20	216	151	25,92	48
Продовження таблиця 5.1 – Обсяг продажу одягу за варіантами
9 варіант
Порядковий № кварталу, Х(5)	Обсяг продажу, Y	Виробничі витрати, X(2)	Витрати на рекламу, X(3)	Інші витрати, X(4)
1	207	150,7	22,36	41,4
2	209	150	22,57	41,8
3	204	150	22,03	40,8
4	214	150	23,11	42,8
5	215	150	23,22	43
6	234	150	25,27	46,8
7	244	150	26,35	48,8
8	254	150,1	27,43	50,8
9	253	150	27,32	50,6
10	263	152	28,4	52,6
11	259	150,1	27,97	51,8
12	272	152	29,38	54,4
13	254	150	27,43	50,8
14	265	150	28,62	53
15	268	151,2	28,94	53,6
16	270	151,1	29,16	54
17	248	151	26,78	49,6
18	250	150	27	50
19	255	150	27,54	51
20	240	151	25,92	48
10 варіант
Порядковий № кварталу, Х(5)	Обсяг продажу, Y	Виробничі витрати, X(2)	Витрати на рекламу, X(3)	Інші витрати, X(4)
1	197	150,7	9	41,4
2	199	150	9,1	41,8
3	194	150	9,7	40,8
4	204	150	10	42,8
5	205	150	9	43
6	224	150	10	46,8
7	234	150	10	48,8
8	244	150,1	10,1	50,8
9	243	150	10	50,6
10	253	152	10	52,6
11	249	150,1	10	51,8
12	262	152	10	54,4
13	244	150	10	50,8
14	255	150	10	53
15	258	151,2	10,1	53,6
16	260	151,1	10,2	54
17	238	151	10	49,6
18	240	150	9	50
19	245	150	9	51
20	230	151	9	48
Продовження таблиця 5.1 – Обсяг продажу одягу за варіантами
11 варіант
Порядковий № кварталу, Х(5)	Обсяг продажу, Y	Виробничі витрати, X(2)	Витрати на рекламу, X(3)	Інші витрати, X(4)
1	197	150,7	9,85	41,4
2	199	150	9,95	41,8
3	194	150	9,7	40,8
4	204	150	10,2	42,8
5	205	150	10,25	43
6	224	150	11,2	46,8
7	234	150	11,7	48,8
8	244	150,1	12,2	50,8
9	243	150	12,15	50,6
10	253	152	12,65	52,6
11	249	150,1	12,45	51,8
12	262	152	13,1	54,4
13	244	150	12,2	50,8
14	255	150	12,75	53
15	258	151,2	12,9	53,6
16	260	151,1	13	54
17	238	151	11,9	49,6
18	240	150	12	50
19	245	150	12,25	51
20	230	151	11,5	48
12 варіант
Порядковий № кварталу, Х(5)	Обсяг продажу, Y	Виробничі витрати, X(2)	Витрати на рекламу, X(3)	Інші витрати, X(4)
1	207	150,7	9,85	10,35
2	209	150	9,95	10,45
3	204	150	9,7	10,2
4	214	150	10,2	10,7
5	215	150	10,25	10,75
6	234	150	11,2	11,7
7	244	150	11,7	12,2
8	254	150,1	12,2	12,7
9	253	150	12,15	12,65
10	263	152	12,65	13,15
11	259	150,1	12,45	12,95
12	272	152	13,1	13,6
13	254	150	12,2	12,7
14	265	150	12,75	13,25
15	268	151,2	12,9	13,4
16	270	151,1	13	13,5
17	248	151	11,9	12,4
18	250	150	12	12,5
19	255	150	12,25	12,75
20	240	151	11,5	12
Продовження таблиця 5.1 – Обсяг продажу одягу за варіантами
13 варіант
Порядковий № кварталу, Х(5)	Обсяг продажу, Y	Виробничі витрати, X(2)	Витрати на рекламу, X(3)	Інші витрати, X(4)
1	232	110,7	9	41,4
2	234	110	9,1	41,8
3	229	110	9,7	40,8
4	239	110	10	42,8
5	240	110	9	43
6	259	110	10	46,8
7	269	110	10	48,8
8	279	110,1	10,1	50,8
9	278	110	10	50,6
10	288	112	10	52,6
11	284	110,1	10	51,8
12	297	112	10	54,4
13	279	110	10	50,8
14	290	110	10	53
15	293	111,2	10,1	53,6
16	295	111,1	10,2	54
17	273	111	10	49,6
18	275	110	9	50
19	280	110	9	51
20	265	111	9	48
14 варіант
Порядковий № кварталу, Х(5)	Обсяг продажу, Y	Виробничі витрати, X(2)	Витрати на рекламу, X(3)	Інші витрати, X(4)
1	232	150,7	11,25	41,4
2	234	150	11,375	41,8
3	229	150	12,125	40,8
4	239	150	12,5	42,8
5	240	150	11,25	43
6	259	150	12,5	46,8
7	269	150	12,5	48,8
8	279	150,1	12,625	50,8
9	278	150	12,5	50,6
10	288	152	12,5	52,6
11	284	150,1	12,5	51,8
12	297	152	12,5	54,4
13	279	150	12,5	50,8
14	290	150	12,5	53
15	293	151,2	12,625	53,6
16	295	151,1	12,75	54
17	273	151	12,5	49,6
18	275	150	11,25	50
19	280	150	11,25	51
20	265	151	11,25	48
Продовження таблиця 5.1 – Обсяг продажу одягу за варіантами
15 варіант
Порядковий № кварталу, Х(5)	Обсяг продажу, Y	Виробничі витрати, X(2)	Витрати на рекламу, X(3)	Інші витрати, X(4)
1	207	105,7	11,25	41,4
2	209	105	11,375	41,8
3	204	105	12,125	40,8
4	214	105	12,5	42,8
5	215	105	11,25	43
6	234	105	12,5	46,8
7	244	105	12,5	48,8
8	254	105,1	12,625	50,8
9	253	105	12,5	50,6
10	263	107	12,5	52,6
11	259	105,1	12,5	51,8
12	272	107	12,5	54,4
13	254	105	12,5	50,8
14	265	105	12,5	53
15	268	106,2	12,625	53,6
16	270	106,1	12,75	54
17	248	106	12,5	49,6
18	250	105	11,25	50
19	255	105	11,25	51
20	240	106	11,25	48

Методичні вказівки до виконання завдання 1

Приклад: дані про обсяги продажу, виробничі витрати, витрати на рекламу за попередні 17 кварталів надані в таблиці 5.2.

Таблиця 5.2 – Обсяг продажу одягу за варіантами

Порядковий № кварталу, Х4	Обсяг продажу, Y	Виробничі витрати, X2	Витрати на рекламу, X3
1	207	150,7	9
2	209	150	9,1
3	204	150	9,7
4	214	150	10
5	215	150	9
6	234	150	10
7	244	150	10
8	254	150,1	10,1
9	253	150	10
10	263	152	10
11	259	150,1	10
12	272	152	10
13	254	150	10
14	265	150	10
15	268	151,2	10,1
16	270	151,1	10,2
17	248	151	10

Спочатку побудуємо рівняння множинної регресії з урахуванням регресора Х2 і Х3. Для знаходження його коефіцієнтів скористаємося формулою:

b = [M^TM]^-1´M^TY

(5.1)

Розраховуємо наступні матриці:

	1	150,7	9
	1	150	9,1
	1	150	9,7
	1	150	10
	1	150	9
	1	150	10
	1	150	10
	1	150,1	10,1
M=	1	150	10
	1	152	10
	1	150,1	10
	1	152	10
	1	150	10
	1	150	10
	1	151,2	10,1
	1	151,1	10,2
	1	151	10

	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
M^Т=	150,7	150	150	150	150	150	150	150,1	150	152	150,1	152	150	150	151,2	151,1	151
	9	9,1	9,7	10	9	10	10	10,1	10	10	10	10	10	10	10,1	10,2	10

	17,00	2558,20	167,20
M^ТM=	2558,20	384972,16	25161,65
	167,20	25161,65	1646,96

	2790,57	-18,78	3,58
(M^ТM)^-1 =	-18,78	0,13	-0,05
	3,58	-0,05	0,42

	4133,00
M^ТY =	622082,80
	40764,90

	-1957,12
b =	11,91
	41,51

Отримаємо рівняння множинної регресії:

Y = -1957,12 + 11,91X⁽²⁾ + 41,51X⁽³⁾

Введемо параметр часу і знайдемо рівняння регресії з урахуванням 3 факторів. Рівняння знаходиться за формулою (5.1) за допомогою побудови відповідних матриць. В результаті отримаємо рівняння:

Y = -897,75 + 6,12X⁽²⁾ + 19,85X⁽³⁾ + 2,72i

Визначимо 95%-ві довірчі інтервали для коефіцієнтів регресії за формулою:

(5.2)

де s - стандартна помилка регресії, яка розраховується за формулою

(в знаменнику необхідно взяти або (n-k), де – n – це кількість спостережень, k – кількість коефіцієнтів регресії, або, (n-m-1) – де – m – це кількість факторів в моделі без врахування X⁽¹⁾;

a_n-k - значення t-критерія Ст’юдента;

z_jj – j-ий діагональний елемент матриці (M^TM)^-1;

sz_jj^1/2 – стандартна помилка коефіцієнта b.

Проведені розрахунки представлені в таблиці 5.3.

Таблиця 5.3

bj	Стандартна похибка bj	95% довірчий інтервал для bj
bj	Стандартна похибка bj	нижня межа	верхня межа
b2=6,12	4,34	-3,26	15,50
b3=19,85	9,75	-1,21	40,92
b4=2,72	0,83	0,93	4,51

Оскільки інтервал для b4 не містить 0, то можна з впевненістю 95% сказати, що даний фактор суттєвий для прогнозування. Тобто в моделі доцільно залишити фактор часу. Інші фактори містять значення 0, тому з моделі їх можна виключити. Але фактор Х2 в дійсності значно впливає на обсяги продажу, оскільки він приймає участь у формуванні собівартості товару. А також нижня межа для фактору Х3 дуже маленька, тому його також можна враховувати. Щоб перевірити наші припущення, необхідно побудувати модель з 3 факторами: Х2, Х3, і; з 2 факторами: Х3, і; з 1 фактором і. Потім розрахувати для них коефіцієнт детермінації, критерій Шварца та Акайка і зробити кінцевий висновок.

Модель для 3 факторів вже побудована (див. вище). Побудуємо інші. Так модель з 1 фактором має вигляд:

Y = 205,55 + 4,17i

R² = 0,76

Моделі з 2-ма факторами:

Y = 36,00 + 18,13X₃ + 3,20i

R² = 0,80

Для моделі з 3 факторами R² = 0,83.

Розрахуємо скоригований коефіцієнт детермінації, критерій Шварца та Акайка за формулами:

Скоригований коефіцієнт детермінації:

(5.3)

Критерій Шварца:

(5.4)

Критерій Акайка:

(5.4)

k – кількість коефіцієнтів регресії в моделі.

Для нашого прикладу отримали:

	R²_кор	SC	AIC
3 фактора	0,79	5,21	5,01
2 фактора	0,78	5,19	5,04
1 фактор	0,74	5,23	5,13

З проведеного дослідження можна побачити, що з введенням нового фактору в модель коефіцієнт детермінації збільшується, що говорить о доцільності введення регресора. Критерій Акайка зменшується із введенням регресорів, що також говорить за доцільність використання всих факторів. Але критерій Шварца не зменшується при введенні 3-го фактору, а тільки 2-го, що говорить про недоцільність такого введення. Тому вважаємо, що для здійснення прогнозу достатньо буде використати модель, яка буде мати фактор часу та фактор витрат на рекламу.

Використовуючи модель Y = 36,00 + 18,13X₃ + 3,20i знайдемо прогноз на 18-21 квартали. В якості прогнозованих значень для X₃ візьмемо значення даного фактору за останній період.

Завдання 2. Множинна регресія та фіктивні регресори при сезонному прогнозуванні

Фірма “А” на період 1-4 квартал 2004 р. бажає отримати прогноз обсягу продажу товарів. Даними про обсяги їх продажу за попередні 5 років скористатися з 1-го завдання лабораторної роботи №3.

1. Визначити значення фіктивних регресорів для моделі множинної регресії.

2. Побудувати модель множинної регресії від фіктивних регресорів.

3. Знайти відповідні сезонні компоненти для кожного кварталу та 95%-ві довірчі інтервали для коефіцієнтів регресії.

4. Знайти прогноз на наступні 4 квартали. Значення отриманого прогнозу та сезонних компонент порівняти із значеннями, отриманими в лабораторній роботі №3.

5. По результатам прогнозування зробити висновки.

Методичні вказівки до виконання завдання 2

1) Спочатку запишемо фактичні дані у вигляді таблиці:

Порядковий № кварталу

Обсяг продажу

2) Побудуємо лінійне рівняння регресії Y по i, в якому Y – це обсяги продажу, і – порядковий № кварталу.

3) Підставимо значення і в рівняння регресії та знайдемо відповідні значення .

4) Розрахуємо детрендове значення для кожного кварталу за формулою:

Значення занесемо в таблицю, яка має структуру:

Порядковий № кварталу, і

Обсяг продажу, Y

Значення тренда,

Детрендове значення, Y’

5) Розглянемо модель множинної регресії:

де ;

Ф⁽¹⁾ = 1 для 1-го кварталу і Ф⁽¹⁾ = 0 – для всих інших кварталів;

Ф⁽²⁾ = 1 для 2-го кварталу і Ф⁽²⁾ = 0 – для всих інших кварталів;

Ф⁽³⁾ = 1 для 3-го кварталу і Ф⁽³⁾ = 0 – для всих інших кварталів.

Для знаходження коефіцієнтів регресії побудуємо таблицю із значеннями фіктивних регресорів, структура якої буде мати вигляд:

Порядковий № кварталу, і

Ф⁽¹⁾

Ф⁽²⁾

Ф⁽³⁾

6) Для знаходження коефіцієнтів множинної регресії застосуємо метод найменших квадратів. В якості матриці Х виступають значення регресорів, в якості матриці Y – значення .

7) Для отриманих коефіцієнтів регресії визначаємо 95%-ві довірчі інтервали за формулою:

де - значення t-критерію Ст’юдента при n-спостереженнях та k-коефіцієнтів регресії;

s – стандартна помилка регресії;

z_jj – j-ий діагональний елемент матриці (M^TM)^-1.

8) Використовуючи отримані значення параметрів регресії, визначаємо сезонні компоненти наступним чином:

9) Знаходимо 95% довірчий інтервал для S₄ , як і для параметрів регресії. Якщо на даному інтервалі коефіцієнт не приймає нульового значення, то статистично значимий і його можна використовувати для подальших розрахунків.

10) Щоб отримати 95%-вий довірчий інтервал для S₁, потрібно розглянути наступну модель множинної регресії:

Проводимо аналогічні розрахунки, як і для знаходження S₄ (див.п. 6-9).

11) Щоб отримати 95%-вий довірчий інтервал для S₂, потрібно розглянути наступну модель множинної регресії:

Проводимо аналогічні розрахунки, як і для знаходження S₄ та S₁(див.п. 6-9).

12) Щоб отримати 95%-вий довірчий інтервал для S₃, потрібно розглянути наступну модель множинної регресії:

Проводимо аналогічні розрахунки, як і для знаходження S₄, S_1,S₂(див.п. 6-9).

13) Після знаходження довірчих інтервалів і перевірки коефіцієнтів сезонності на значимість, знаходимо прогноз на 4 наступні квартали шляхом перемноження відповідного значення коефіцієнту сезонності на останні значення Y (наприклад, S₁помножити на останнє значення Y, що відповідає першому кварталу).

Контрольні питання

1. Який вид має рівняння множинної регресії?

2. Чи описуються Ваші дані лінійною моделлю?

3. Які регресори Ви залишаєте, а які видалите з моделі множинної регресії?

4. Які критерії використовують для встановлення кількості регресорів?

5. Яка динаміка цих критеріїв при збільшені кількості регресорів?

6. Поняття фіктивних регресорів.

7. Алгоритм побудови моделі множинної регресії від фіктивних регресорів.

8. Між якими факторами існує мультиколінеарність? Чому?

9. Як здійснюється відбір регресорів?