ПРАКТИЧНА РОБОТА №2

 

Тема: Використання статистичних методів та методів математичного моделювання при прогнозуванні динамічних рядів.

Мета роботи: Набуття студентами навичок практичного застосування основних прийомів прогнозної роботи і зокрема, використання статистичних та методів математичного моделювання. Для успішного виконання завдань та розуміння системи обробки і аналізу динамічних рядів студенти мають використовувати набуті знання з курсу вищої математики, теорії статистики, економетрії.

Обладнання: ПК.

Програмне забезпечення для ЕОМ: MS Excel, MathCAD, Statistica 5.0 for Windows.

 

Теоретичні відомості

Важливу групу методів прогнозування складають методи основані на аналізі часових рядів.

В таблиці 2.1 представлено часовий ряд по показнику споживання безалкогольного напою «Тархун» в декалітрах (дол.) в одному з регіонів починаючи з 1997 р. Аналіз часових рядів може проводитися не тільки за річними або місячними даними, але також можуть використовуватися щоквартальні, тижневі або щоденні дані про об'єми продажів. Для розрахунків може бути  використаний програмний продукт Statistica 5.0 for Windows.

 

 

 

 

 

Таблиця 2.1 – Місячне споживання безалкогольного напою «Тархун» в 1997—2003 рр. (тис. дол.).

 

За даними таблиці 2.1 будється графік споживання напою «Тархун» в 1997 – 2003 рр. (Рис. 2.1), де на осі абсцис представлені дати спостереження, на осі ординат – об'єми споживання напою.

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.1— Місячне споживання напою «Тархун» в 1997—2003 рр. (тис. дол.).

 

Прогнозування на основі аналізу часових рядів припускає, що зміни в об'ємах продажів, що відбувалися, можуть бути використані для визначення цього показника в подальші періоди часу. Часові ряди, подібні тим, що приведені в таблиці 2.1, дані служать для розрахунку чотирьох різних типів змін в показниках: трендових, сезонних, циклічних і випадкових.

Тренд – ця зміна, що визначає загальний напрям розвитку, основну тенденцію часових рядів. Виявлення основної тенденції розвитку (тренда) називається вирівнюванням часового ряду, а методи виявлення основної тенденції – методами вирівнювання.

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.2 – Щорічне споживання напою «Тархун» в 1997—2003 рр. (тис. дол.)

 

Виявлення основної тенденції може бути здійснено також методом ковзаючої середньої. Для визначення ковзаючої середньої формуються укрупнені інтервали, що складаються з однакового числа рівнів. Кожний подальший інтервал одержуємо, поступово пересуваючись від початкового рівня динамічного ряду на одне значення. За сформованими укрупненими даними розраховуємо ковзаючі середні, які відносяться до середини укрупненого інтервалу.

Порядок розрахунку ковзаючих середніх по споживанню напою “Тархун” в 1997 р. приведений в таблиці 2.2. Аналогічний розрахунок може бути проведений на основі всіх даних за 1997—2003 рр.

 

 

 

 

Таблиця 2.2 – Розрахунок ковзаючих середніх за даними за 1997 р.

 

В даному випадку розрахунок ковзаючої середньої не дозволяє зробити висновок про стійку тенденцію в споживанні напою «Тархун», оскільки на неї впливає внутрішньорічне сезонне коливання, яке може бути усунене лише при розрахунку ковзаючих середніх за рік.

Вивчення основної тенденції розвитку методом ковзаючої середньої є емпіричним прийомом попереднього аналізу. Для того, щоб дати кількісну модель змін динамічного ряду, використовується метод аналітичного вирівнювання. В цьому випадку фактичні рівні ряду замінюються теоретичними, розрахованими по певній кривій, що відображає загальну тенденцію зміни показників в часі. Таким чином, рівні динамічного ряду розглядаються як функція часу:

 

                                                     (2.1)

 

Найбільш часто можуть використовуватися наступні функції:

1.    при рівномірному розвитку – лінійна функція:

;                                             (2.2)

2.    при зростанні з прискоренням:

2.1     парабола другого порядку: ;                                          (2.3)

 

2.2     гіпербола: ;                                                          (2.4)

3      при постійних темпах зростання – показникова функція:

;                                        (2.5)

4      при зниженні з уповільненням – гіперболічна функція:

.                                        (2.6)

Проте аналітичне вирівнювання містить в собі ряд умовностей: розвиток явищ обумовлений не тільки тим, скільки часу пройшло з відправного моменту, а і тим, які сили впливали на розвиток, в якому напрямі і з якою інтенсивністю. Розвиток явищ в часі виступає як зовнішній вираз цих сил.

Оцінки параметрів  знаходяться методом  найменших квадратів, суть якого полягає у відшуканні таких параметрів, при яких сума квадратів відхилень розрахункових значень рівнів, обчислених по формулі, від їх фактичних значень була б мінімальною.

Для згладжування економічних часових рядів недоцільно використовувати функції, що містять велику кількість параметрів, оскільки одержані таким чином рівняння тренду (особливо при малому числі спостережень) відображатимуть випадкові коливання, а не основну тенденцію розвитку явища.

Підбір виду функції, що описує тренд, параметри якої визначаються методом найменших квадратів, проводиться в більшості випадків емпірично, шляхом побудови ряду функцій і порівняння їх між собою по величині середньоквадратичної помилки.

Різниця між фактичними значеннями ряду динаміки і його вирівняними значеннями  характеризує випадкові коливання (іноді їх називають залишкові коливання або статистичні перешкоди). В деяких випадках останні поєднують тренд, циклічні коливання і сезонні коливання.

 

Завдання 1

На основі використання найпростіших інструментів екстраполяції динамічного ряду обчислити:

a)    базові та ланцюгові абсолютні прирости.

b)    базові та ланцюгові темпи зростання;

c)    темпи приросту

d)    середній абсолютний приріст;

e)    середні темпи зростання та приросту;

f)     середню хронологічну для інтервального та моментного рядів.

g)    ефективність 1% приросту.

Виходячи з табл. 2.3., на основі обрахованого середньорічного темпу зростання спрогнозувати динаміку показника на п'ять років.

Вихідні дані

Таблиця 2.3 – Динаміка показників за 10 попередніх років

Методичні вказівки до виконання завдання 1

Для обчислення базових абсолютних приростів , темпів зростання Тзр і темпів приростів Тпр за базу для екстраполяції слід брати 1-й рівень числового ряду y_і.

Абсолютний приріст характеризує розмір збільшення /зменшення/ рівня ряду за певний проміжок часу і визначається різницею двох порівнювальних рівнів.

Темпи зростання Тзр розраховують через відношення двох рівнів ряду динаміки і виражається у відсотках.

Темпи приросту Тпр розраховують як відношення абсолютного приросту до попереднього /або базового/ рівня ряду. Темпи зростання і темпи приросту взаємопов'язані співвідношеннями

 

Тзр =100+Тпр        або   Тпр = Тзр -100                           (2.7)

 

Ефективність 1% приросту обчислюють як відношення абсолютного приросту (нат. од.) до темпу приросту (%):

 

                                                  (2.8)

 

Середній рівень абсолютного приросту

 

                                               (2.9)

 

де, у_п - кінцевий рівень ряду;

n - кількість спостережень ряду.

Середній темп зростання визначає середню швидкість зміни тенденції ряду і розраховується за формулою

 

                 (2.10)

 

Середній темп приросту

 

Тпр = Тзр -100                                              (2.11)

 

Середня хронологічна для інтервального ряду

 

                                                     (2.12)

 

для моментного ряду

                              (2.13)

 

Для розрахунку прогнозних значень показників на період L років необхідно виходити з того, що у майбутньому зберігатиметься основний напрям, швидкість і характер розвитку явищ, які склалися у минулому.

Найбільш простим і приблизним є прогнозування за середнім темпом зростання. Для характеристик прогнозних рівнів цим способом слід використовувати формулу

 

                                             (2.14)

 

де  - прогнозне значення рівня ряду;

 - початковий рівень показника;

L - час упередження /прогнозу/. L= 1-5;

t - час (числова послідовність років t=1-n).

Завдання 2

Використовуючи метод ковзної середньої, провести вирівнювання динамічного ряду.

Вихідні дані

Обсяги капітальних вкладень у житлове будівництво, соціально-культурну сферу та введення в дію житлової площі за рахунок державного будівництва за 12 попередніх років характеризуються даними, наведеними в табл. 2.4.

 

Таблиця 2.4 – Обсяги капітальних вкладень за 12 років

 

Потрібно:

1. Провести вирівнювання ряду методом три-, чотири- і п'яти-членної ковзної середньої.

2. Нанести вихідні дані на графік і вибрати найплавнішу криву.

3. Обґрунтувати можливість прогнозування динаміки показників з використанням екстраполяції на підставі середнього рівня ряду.

Період прогнозу - менш ніж 5 років.

 

 

 

Методичні вказівки до виконання завдання 2

Метод ковзної середньої полягає у заміні фактичного значення показника їх усередненими величинами, які мають значно меншу варіацію, ніж вихідні дані ряду.

Залежно від періоду усереднення вирізняють ковзні для парної і непарної кількості членів ряду.

Найпоширенішими є методи три-, чотири- і п'ятичленної середньої ковзної.

Розрахунок тричленної ковзної виконують за формулою:

 

У_і =(У_і+1+У_і+У_і-1)/3                                         (2.15)

п’ятичленної

 

У_і =(У_і+2+У_і+1+У_і+У_і-1+У_і-2)/5                                 (2.16)

 

Чотиричленної

 

У_і=0,5((У_і-2+У_і-1+У_і+У_і+1)/4+(У_і-1+У_і+У_і+1+У_і+2))/4          (2.17)

 

Для розрахунку прогнозних значень показників слід брати значення середніх ковзних.

Для прогнозної оцінки значень показника розраховують довірчі границі /інтервали/, їх визначають за формулою

 

y_i - t_aS_y  =< y_i+L = < y_i + t_aS_y,                                              (2.18)

 

де t_a - табличне значення критерію Стьюдента при заданому рівні значущості і заданому числі ступенів вільності, яке дорівнює n-1 (t_а=0,217).

S_y- середньоквадратична похибка середньої:

 

                                                   (2.19)

 

де, S – дисперсія, яка розраховується за наступною формулою.

 

                                                 (2.20)

 

Завдання З

На підставі динамічного ряду виробництва електроенергії за останні 12 років (табл. 2.5) встановити залежність, яка характеризує зміни у виробництві, а також знайти параметри цієї залежності за допомогою методу найменших квадратів; вирівняти значення числового ряду; зробити точковий прогноз рівнів виробництва на наступні 5 років.

 

Таблиця 2.5 – Виробництва електроенергії за 12 років

 

Методичні вказівки до виконання завдання З

Для встановлення залежності зміни обсягів виробництва електроенергії слід скористатися з їх графічних зображень.

Якщо зміна обсягів показника проходить лінійно, тренд ряду описується прямою лінією:

,                                           (2.21),

 

якщо ж наявна параболічна залежність, основна тенденція описується параболою відповідного порядку /наприклад. 2-го. 3-го і т.д./

 

,                                        (2.22)

 

якщо ж динамічний ряд характеризується постійними темпами зростання та приросту, тренд ряду описується показниковою функцією

 

,                                                  (2.23)

 

де а₀, а₁, а₂ - параметри многочленів;

      а₁ - швидкість зростання;

      а₂ - прискорене зростання;

      а₀ - рівень ряду при t=0 (t - незалежна змінна /час/);

      n - кількість членів ряду.

Для визначення параметрів тренду ряду використовують метод найменших квадратів.

Для визначення параметрів лінійної функції користуються системою лінійних рівнянь

                                     (2.24)

звідки,

                                (2.25)

 

Для визначення параметрів параболи другого порядку використовують систему рівнянь

                      (2.26)

звідки,

;                                           (2.27)

;                                                          (2.28)

                           (2.29)

 

На підставі обраної функції, яка визначає основну тенденцію динаміки показника, розрахувати теоретичні значення показника y_t.

Правильність вибору типу тренду ряду можна перевірити через розрахунок відхилень фактичних рівнів від відповідних вирівняних значень (вони можуть мати випадковий характер або нормальний закон розподілу) або застосувавши метод медіан.

Це виконують з метою одержання достовірніших прогнозних значень показника /точкового прогнозу/.

Оскільки фактичні дані показника майже ніколи не збігаються з відповідними теоретичними значеннями, добутими на основі прогнозування, доцільно визначити також і довірчі інтервали прогнозів:

 

y_i-t_aS_y  =< y_i+L =< y_i+t_aS_y

 

Методика їх розрахунку наведена у методичних вказівках до виконання завдання 2.

 

Завдання 4

Користуючись даними табл.2.6, виявіть основну тенденцію динаміки /що описується параболою другого порядку/ реалізації платних послуг населенню за 13 попередніх років.

Параметри виявленої залежності розрахуйте методом найменших квадратів, обчисліть теоретичні рівні ряду.

Зробіть точковий прогноз рівня реалізації послуг на наступні п'ять років. Вихідні дані наведені в таблиці 2.6

 

Таблиця .2.6 – реалізації платних послуг населенню за 13 років

 

 

 

Методичні вказівки до виконання завдання 4

Параметри вибраної функції слід обчислювати згідно з описаною у завданні 3 методикою.

Для розрахунку прогнозних точкових значень показника у рівняння тренду підставляють відповідні значення t.

Довірчі інтервали прогнозу обчислюють згідно з методикою наведеною у завданні 2.

 

Завдання 5.

Використовуючи метод скінчених різниць, знайдіть основну тенденцію динаміки споживання населенням деяких видів продовольчих і непродовольчих товарів за 10 попередніх років, виходячи з даних табл. 2.7. Обчисліть параметри вибраної функції. На основі вибраного тренду ряду необхідно зробити прогноз рівнів споживання на три роки.

 

Таблиця 2.7 – Динаміка споживання населенням деяких видів продовольчих і непродовольчих товарів за 10 років

 

 

Методичні вказівки до виконання завдання 5

Метод скінчених різниць використовують для уточнення характеру зміни показника у часі, його застосовують при перевірці твердження: динаміка змін відображається одним із многочленів. Отже,

 

                             (2.30)

                                                  

 

/детальний опис наведений у методичних вказівках до завдання З/.

Сутність методу полягає у послідовному визначенні абсолютних різниць першого, другого, третього та вищих порядків. Розрахунок здійснюють за формулами:

                                      (2.31)

 

Розрахунки проводять доти, доки значення однієї з різниць /відповідного порядку/ приблизно дорівнюватимуть один одному, а елементи наступної різниці наближатимуться до нульового значення.

Основна тенденція такого динамічного ряду описується многочленом такого порядку, якому відповідав попередній порядок різниць Наприклад, якщо різниці третього порядку наближаються до нульового значення, тренд ряду описується параболою другого порядку

Для розрахунку параметрів лінійної функції використовують формулу

 

  ,                                         (2.32)

 

де  - середній рівень динамічного ряду.

,                                        (2.33)

 

де  - середнє арифметичне скінченних різниць першого порядку;

       t - незалежна змінна /час/;

      n - кількість членів ряду.

Для розрахунку параметрів параболи другого порядку використовують формулу.

,                                (2.34)

 

де  - середнє арифметичне скінченних різниць другого порядку.

Для розрахунку прогнозних значень показників у вибрані й розраховані рівняння тренду рядів слід підставити відповідні значення прогнозного часу t /1= 1,2,3/.

Необхідно також обчислити довірчі інтервали прогнозу.

 

Завдання 6

Використовуючи дані про рівень споживання на душу населення цукру, яєць і тканин, наведених у таблиці 2.7. /завдання 5/, зробіть прогноз динаміки показників на п'ять наступних років, застосовуючи метод експоненціального згладжування /метод Брауна/. Часові ряди описуються лінійним трендом.

 

Методичні вказівки до виконання завдання 6

Лінійна модель заданих динамічних рядів описується формулою

 

,                                       (2.35)

 

де  - випадкова величина.

Прогнозна модель для заданого типу рівняння матиме вигляд:

 

                                      (2.36)

 

Для розрахунку параметрів  і  використовують систему рівнянь Брауна і знаходять їх через експоненціальні середні і

 

,                            (2.37)

 

де,  - параметр згладжування, який розраховується, як ;

       n - кількість членів ряду;

і  - експоненціальні середні відповідно першого та другого порядків, які розраховуються, як:

 

                       (2.38)

 

,  - початкові рівні експоненціальних середніх відповідно першого та другого порядків;

,                                    (2.39)

 

де а_0, а₁ – параметри лінійного рівняння, розраховані методом найменших квадратів;

 - теоретичне значення останнього рівня ряду.

 

Порядок виконання завдання

1. Методом найменших квадратів знаходять параметри лінійного рівняння /а_0, а₁/, розраховують теоретичні рівні динамічного ряду  /див. методик у завданні 3/.

2. Обчислюють параметр згладжування а.

3. Знаходять початкові рівні експоненціальних середніх першого та другого порядків , .

4. Знаходять експоненціальні середні першого та другого порядку і .

5 Розраховують параметри рівняння для прогнозу динаміки  і .

6. Визначають прогнозні рівні ряду на п’ять років.

7. Знаходять похибки при лінійному прогнозуванні, використовуючи формулу

 

            (2.40)

 

де                                           ,

 

де,  - середнє арифметичне значення динамічного ряду;

       - число ступенів вільності (=n-2).

 

Завдання 7

На основі динаміки окремих показників, наведених у табл. 2.8. розрахувати тісноту зв'язку між ними, використавши метод парної кореляції.

 

Вихідні дані

 

Таблиця 2.8 – Динаміка показників

 

Методичні вказівки до виконання завдання 7

Для визначення тісноти зв'язку між двома показниками /факторами/ використовують формулу коефіцієнта парної кореляції

 

                                (2.41)

 

де  та  - середнє значення відповідно першого і другого показника;

     n - кількість спостережень.

Якщо =0 - то величини x i y – незалежні;

Якщо ||<0.5 – зв’язок між ними слабкий;

Якщо 0.5<||<0.8 зв’язок між ними сильний;

Якщо ||=1 зв'язок є функціональним і залежність набуває вигляду лінійної функції

Для оцінки достовірності коефіцієнта кореляції розраховують критерій достовірності.

,

де- похибка коефіцієнта кореляції.

 

Питання для обговорення

1.Статистичні методи прогнозування: сутність, класифікація, зміст.

2.Застосування кореляційно-регресійного аналізу в прогнозуванні.

3.Класифікація економіко-математичних методів та моделей економічного прогнозування, їх характеристика.

4. Як обчислюються та що характеризують базові та ланцюгові абсолютні прирости, базові та ланцюгові темпи зростання, темпи приросту, середній абсолютний приріст, середні темпи зростання та приросту, середня хронологічна для інтервального та моментного рядів, ефективність 1% приросту?

5. Як проводиться вирівнювання динамічного ряду?

6. В чому полягає метод ковзної середньої?

7. Яким чином перевіряється правильність вибору типу тренду?

8. В чому полягає метод найменших квадратів?

9. В чому полягає метод скінченних різниць?

10. В чому полягає метод експоненціального згладжування (метод Брауна)?

11. Яким чином розраховується тіснота зв’язку між окремими показниками?