ПРАКТИЧНА РОБОТА №6

Тема: Експертні методи прогнозування

Мета роботи: отримання практичних навичок визначення кількісних параметрів та аналізу показників експертного опитування.

Обладнання: ПК.

Програмне забезпечення для ЕОМ: MS Excel, MathCAD.

Завдання

Для прогнозування обсягів реалізації нового продукту на ринку фірма “А” вирішила використати експертні оцінки, оскільки для прогнозування відсутня достатня кількість фактичної інформації. Для цього було запрошено 5 експертів, які оцінили вплив 15 факторів на реалізацію нового продукту. Результати оцінок представлені в таблиці 6.1.

1. На основі відповідей експертів побудувати матриці: рангів і переваг факторів.

2. Розрахувати показники порівняльної важливості факторів. На основі отриманих результатів сформувати таблицю показників порівняльної важливості факторів.

3. Оцінити ступінь узгодженості думок експертів шляхом розрахунку коефіцієнтів узгодженості і побудови матриць коефіцієнтів парної рангової кореляції та показників інформаційної міри збігу думок експертів.

4. Зробити висновки щодо результатів експертного опитування.

Таблиця 6.1 – Експертні оцінки обсягів реалізації нового продукту за варіантами

1 варіант
Фактори	Експерти
Фактори	1	2	3	4	5
1	20	10	20	20	50
2	70	30	70	40	20
3	50	50	20	60	70
4	70	90	90	90	10
5	60	30	50	90	100
6	10	30	30	20	60
7	30	10	40	30	70
8	50	50	30	80	0
9	80	50	0	50	0
10	10	40	10	70	70
11	50	60	50	50	10
12	60	50	50	20	30
13	100	20	100	10	100
14	10	20	50	20	70
15	10	30	100	70	80

3 варіант
Фактори	Експерти
Фактори	1	2	3	4	5
1	20	10	20	20	40
2	70	30	70	40	50
3	50	50	20	60	70
4	70	90	90	90	10
5	60	30	50	90	100
6	10	30	30	20	60
7	30	10	40	30	70
8	10	10	10	10	0
9	80	50	0	50	0
10	10	40	10	70	70
11	50	60	50	50	10
12	60	50	50	30	30
13	100	80	100	90	100
14	10	20	50	20	70
15	10	30	100	70	80

5 варіант
Фактори	Експерти
Фактори	1	2	3	4	5
1	100	100	100	90	80
2	70	30	70	40	20
3	50	50	20	60	70
4	70	90	90	90	10
5	60	30	50	90	70
6	10	30	30	20	60
7	30	10	40	30	70
8	50	50	30	80	70
9	80	50	60	50	60
10	0	40	10	70	70
11	50	60	50	50	10
12	60	50	50	20	30
13	100	20	100	10	100
14	10	20	50	20	70
15	10	30	100	100	80

7 варіант
Фактори	Експерти
Фактори	1	2	3	4	5
1	20	10	20	20	50
2	70	30	70	40	20
3	50	50	20	60	70
4	70	90	90	90	10
5	60	30	50	90	100
6	10	30	30	20	60
7	30	10	40	30	70
8	50	50	30	80	0
9	80	50	0	50	0
10	10	40	10	70	70
11	50	60	50	50	10
12	60	50	50	20	30
13	100	20	100	10	100
14	10	20	50	20	70
15	10	30	100	70	80

9 варіант
Фактори	Експерти
Фактори	1	2	3	4	5
1	70	30	20	60	80
2	60	40	10	40	90
3	60	80	50	10	30
4	30	70	60	70	50
5	0	10	20	0	50
6	90	30	20	20	60
7	20	10	10	10	70
8	80	20	50	10	20
9	0	10	10	10	20
10	70	30	100	70	80
11	70	100	60	50	100
12	100	90	80	100	80
13	80	70	10	70	70
14	40	20	30	10	0
15	40	80	30	70	30

11 варіант
Фактори	Експерти
Фактори	1	2	3	4	5
1	50	20	10	70	60
2	100	30	30	90	40
3	40	40	30	10	30
4	50	30	80	50	20
5	100	50	30	20	80
6	30	50	60	50	60
7	80	40	20	10	30
8	40	20	30	0	0
9	40	70	10	10	10
10	90	50	20	30	20
11	100	80	40	50	70
12	70	70	90	90	80
13	50	30	70	20	50
14	90	90	90	100	100
15	100	100	90	80	90

13 варіант
Фактори	Експерти
Фактори	1	2	3	4	5
1	30	80	30	80	40
2	80	0	40	50	50
3	20	0	30	0	20
4	60	50	80	80	10
5	30	10	60	40	60
6	60	90	30	60	40
7	40	90	10	60	70
8	100	90	90	100	80
9	90	40	30	30	80
10	20	30	70	80	60
11	50	80	90	10	20
12	50	0	40	50	70
13	70	40	80	40	10
14	70	100	80	100	100
15	50	30	80	0	60

15 варіант
Фактори	Експерти
Фактори	1	2	3	4	5
1	60	50	20	60	10
2	50	30	10	60	70
3	80	50	30	90	50
4	10	70	0	50	40
5	80	10	40	20	20
6	20	20	0	30	30
7	60	90	60	20	90
8	60	70	0	50	60
9	60	20	90	40	80
10	30	80	20	60	40
11	90	10	70	50	60
12	100	100	80	100	60
13	40	50	100	70	70
14	40	80	60	40	90
15	90	100	90	80	100

17 варіант
Фактори	Експерти
Фактори	1	2	3	4	5
1	100	100	100	100	100
2	20	20	90	20	30
3	0	10	50	10	80
4	10	30	60	10	30
5	50	20	70	20	40
6	10	30	10	20	0
7	10	20	20	90	60
8	80	30	70	80	70
9	10	50	60	30	70
10	80	80	70	70	100
11	90	80	70	60	30
12	20	60	60	20	20
13	90	50	40	30	60
14	40	70	60	80	70
15	50	30	90	10	60

19 варіант
Фактори	Експерти
Фактори	1	2	3	4	5
1	40	90	90	60	90
2	60	30	30	100	30
3	70	20	60	40	60
4	60	90	0	10	100
5	30	50	70	80	100
6	100	70	100	100	70
7	30	30	20	10	60
8	70	20	40	100	50
9	80	60	40	40	30
10	80	30	80	60	50
11	10	100	50	100	90
12	30	30	80	60	10
13	40	10	40	20	50
14	70	30	20	20	10
15	80	100	90	70	50

2 варіант
Фактори	Експерти
Фактори	1	2	3	4	5
1	20	10	20	20	50
2	70	30	70	40	20
3	50	50	20	60	70
4	70	90	90	90	10
5	60	30	50	90	100
6	10	30	30	20	60
7	30	10	40	30	70
8	50	50	30	80	60
9	10	20	0	10	0
10	10	40	10	70	70
11	50	60	50	50	10
12	60	50	50	20	30
13	100	20	100	10	100
14	10	20	50	20	70
15	50	40	70	70	80

4 варіант
Фактори	Експерти
Фактори	1	2	3	4	5
1	20	10	20	20	50
2	70	30	70	40	20
3	50	50	20	60	70
4	70	90	90	90	10
5	60	30	50	90	100
6	10	30	30	20	60
7	30	10	40	30	70
8	40	40	30	20	0
9	80	50	50	50	70
10	10	40	10	70	70
11	50	60	50	50	10
12	60	50	50	20	30
13	90	90	100	90	100
14	10	20	50	20	70
15	100	100	100	70	80

6 варіант
Фактори	Експерти
Фактори	1	2	3	4	5
1	20	10	20	20	50
2	70	30	70	40	20
3	50	50	20	60	70
4	70	90	90	90	10
5	100	70	100	90	100
6	10	30	30	20	60
7	30	10	40	30	70
8	10	20	10	10	0
9	80	50	40	50	60
10	0	40	10	70	70
11	50	60	50	50	10
12	60	50	50	20	30
13	70	40	70	50	80
14	10	20	50	20	70
15	10	30	50	70	80

8 варіант
Фактори	Експерти
Фактори	1	2	3	4	5
1	60	80	70	40	60
2	30	80	90	80	80
3	70	30	80	40	80
4	70	20	60	70	50
5	30	60	60	80	40
6	40	50	30	20	20
7	40	40	0	100	10
8	50	90	10	80	90
9	80	100	100	90	100
10	0	30	50	60	70
11	40	60	30	20	50
12	30	90	50	20	90
13	20	0	30	0	60
14	40	50	60	70	60
15	70	70	90	70	50

10 варіант
Фактори	Експерти
Фактори	1	2	3	4	5
1	80	90	70	70	60
2	80	80	50	90	90
3	60	60	50	80	90
4	10	40	70	20	90
5	90	60	80	50	50
6	100	100	100	100	100
7	20	10	40	0	0
8	70	90	20	90	90
9	80	80	100	80	40
10	0	20	70	30	20
11	30	10	0	10	10
12	50	40	40	40	60
13	40	90	20	50	20
14	80	60	60	30	0
15	10	30	10	20	90

12 варіант
Фактори	Експерти
Фактори	1	2	3	4	5
1	40	30	60	10	50
2	100	100	80	100	90
3	40	30	20	50	50
4	90	40	30	90	50
5	30	20	100	20	40
6	20	50	30	70	60
7	100	20	80	20	90
8	20	30	50	10	0
9	50	80	70	40	50
10	70	90	30	20	40
11	90	10	20	100	10
12	40	20	80	20	20
13	90	80	70	50	70
14	0	20	30	30	40
15	20	10	50	20	50

14 варіант
Фактори	Експерти
Фактори	1	2	3	4	5
1	10	20	20	10	0
2	70	50	60	40	50
3	20	40	30	20	40
4	80	10	60	10	10
5	100	100	80	90	100
6	0	20	30	50	30
7	80	90	90	50	80
8	20	100	60	10	60
9	70	20	50	50	10
10	10	40	50	80	50
11	0	90	30	50	60
12	40	90	80	30	20
13	10	30	70	100	60
14	40	70	70	10	60
15	30	70	10	70	50

16 варіант
Фактори	Експерти
Фактори	1	2	3	4	5
1	20	50	60	60	80
2	40	10	100	30	90
3	40	20	10	100	70
4	10	10	10	90	60
5	20	10	30	70	20
6	20	20	80	30	90
7	90	80	70	30	40
8	70	90	90	80	100
9	90	100	100	70	100
10	50	50	100	30	10
11	80	30	80	40	60
12	40	60	60	30	20
13	60	80	80	30	80
14	100	80	90	10	60
15	50	90	100	80	50

18 варіант
Фактори	Експерти
Фактори	1	2	3	4	5
1	60	80	30	70	50
2	70	90	90	20	80
3	80	40	30	90	10
4	0	80	80	20	20
5	20	10	30	70	50
6	30	40	60	50	70
7	50	10	70	30	80
8	50	90	10	50	20
9	30	70	10	70	70
10	100	80	100	100	90
11	90	100	80	80	70
12	50	70	50	60	80
13	0	40	70	30	50
14	10	40	80	40	50
15	40	10	20	30	40

20 варіант
Фактори	Експерти
Фактори	1	2	3	4	5
1	10	30	20	20	50
2	30	40	70	40	0
3	60	20	40	30	90
4	20	0	60	30	10
5	100	100	100	90	100
6	20	70	60	80	50
7	60	80	100	90	60
8	20	90	40	70	10
9	100	80	100	70	90
10	70	100	50	90	30
11	10	20	90	50	60
12	80	40	60	40	40
13	50	70	60	60	90
14	20	90	80	40	70
15	90	10	20	90	40

Методичні вказівки до виконання завдання

Приклад: результати оцінок експертів представлені в таблиці 6.2.

Таблиця 6.2 – Оцінки експертів

Фактори	Експерти
Фактори	1	2	3	4
1	100	100	90	80
2	90	100	80	100
3	90	80	100	90
4	90	70	70	70
5	70	90	50	60
6	80	60	60	50
7	50	60	40	50
8	50	60	30	40
9	40	50	20	0
10	60	50	10	20

Таблиця 6.2 представляє собою матрицю балів, яку необхідно перетворити в матрицю рангів шляхом застосування методу рангової кореляції. Для цього дані, отримані в балах, необхідно проранжувати по мірі зменшення і привласнити порядковий номер, який визначає місце кожного фактора в загальній сукупності, тобто привласнити ранг. Якщо експерт присвоює однакову кількість балів декільком факторів, то їм присвоюється стандартизований ранг, тобто частку від ділення суми місць, зайнятих факторами з однаковими рангами, на загальну кількість таких альтернатив.

Матриця рангів для нашого прикладу буде мати вигляд (див.табл.6.3).

Таблиця 6.3 – Матриця рангів

Фактори	Експерти
Фактори	1	2	3	4
1	1	1,5	2	3
2	3	1,5	3	1
3	3	4	1	2
4	3	5	4	4
5	6	3	6	5
6	5	7	5	6,5
7	8,5	7	7	6,5
8	8,5	7	8	8
9	10	9,5	9	10
10	7	9,5	10	9

На основі матриці рангів побудуємо матрицю переваги, суть якої полягає в тому, щоб оцінити, скільки експертів віддають перевагу даному фактору порівняно з іншими, або число випадків, коли фактор j визначається як більш важливий за напрямок z. Для визначення елемента ab (клітинки на перетині рядка а та стовпця b) матриці переваги аналізуються рядки a і b матриці рангів і визначаються, скільки разів ранги фактору а вищі в порівнянні з рангами фактору b, або скільки разів елементи рядку а менші елементів рядку b. В результаті отримуємо матрицю переваг (див.табл. 6.4).

Таблиця 6.4 – Матриця переваг

Фактори	Фактори
Фактори	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	-	2	2	4	4	4	4	4	4	4
2	1	-	2	3	4	4	4	4	4	4
3	2	1	-	3	3	4	4	4	4	4
4	0	0	0	-	3	4	4	4	4	4
5	0	0	1	1	-	2	4	4	4	4
6	0	0	0	0	2	-	2	3	4	4
7	0	0	0	0	0	0	-	2	4	3
8	0	0	0	0	0	0	0	-	4	3
9	0	0	0	0	0	0	0	0	-	1
10	0	0	0	0	0	0	1	1	2	-

З отриманої матриці переваг можна зробити висновок, що найбільшу перевагу експерти надають факторам 1, 2 та 3, оскільки ранги, які дані даним факторам є вищими в порівнянні з іншими.

Для оцінки важливості факторів необхідно розрахувати цілий ряд показників:

1) Сума рангів, призначених j-му фактору:

(6.1)

де S_j - сума рангів, призначених j-му фактору;

m – кількість експертів, які прийняли участь в дослідженні;

n – кількість факторів дослідження;

R_ij – ранг оцінки і-им експертом j-ого фактору.

2) Середній ранг для кожного фактору:

(6.2)

3) Середня величина в балах:

(6.3)

де с_іj – оцінка відносної ваги (в балах), даних і-им експертом j-ому фактору;

m_j – кількість експертів, які прийняли участь в дослідженні j-ого фактору.

4) Показник частоти максимально можливих оцінок:

(6.4)

де m_100j – кількість експертів, які дали оцінку в 100 балів j-ому фактору.

5) Середня вага кожного фактору (нормована оцінка):

(6.5)

де

(6.6)

6) Розмах оцінок:

(6.7)

де L_j – розмах оцінок в балах, даних j-ому фактору;

С_jmax, С_jmin– відповідно максимальна та мінімальна оцінка, поставлені j-ому фактору окремим експертом.

7) Активність експертів по кожному напрямку:

(6.8)

де m_j – кількість експертів, які оцінили j-оий фактор;

m – загальна кількість експертів.

З використанням формул 6.1 – 6.8 розрахуємо показники порівняльності важливості факторів. Результати розрахунків наведемо в таблицю 5.

Оцінка показників відносної важливості факторів, що містяться в таблиці 6.5, свідчать про те, що група експертів віддала перевагу в основному 1 та 2 фактору і менш схильна вважати доцільним використовувати для побудови прогнозної моделі 10 та 9 фактори. Про це свідчать дані показників суми рангів та середнього рангу, оскільки для даних факторів значення цих показників найменші. Це підтверджує середня величина в балах, оскільки значення цього показника найбільше саме для факторів 1, 2 та 3.

Середня вага кожного фактору свідчить, що найбільш вагомими і перспективними є фактори 1, 2 і 3, що підтверджується високими значеннями даного показнику по відношенню із значеннями для інших факторів.

Як показує величина розмаху, за виключенням 5, 9 та 10 факторів особливого розмаху в оцінках експертів не спостерігається. Показник активності експертів свідчить про те, що всі фактори достатньо обґрунтовані, оскільки, за виключенням 9 фактору, всі експерти дали оцінку запропонованим факторам. Показник частоти максимально можливих оцінок свідчить про те, що 1, 2 та 3 факторам експерти надали максимальну оцінку, що свідчить про їх важливість для дослідження.

Таким чином, прогнозист повинен з перших двох факторів, а можливо навіть з перших трьох шляхом співставлення та додаткових оцінок вибрати найбільш вагомий фактор для розробки прогнозної моделі. Можливо він прийме рішення залишити або 1 і 2 фактор, 1, 2 та 3 фактор в моделі.

Для оцінки узагальненої міри узгодженості думок по всім факторам розрахуємо ряд показників:

1) Коефіцієнт конкордації:

(6.9)

де

	(6.10)
	(6.11)
	(6.12)

L – кількість груп зв’язаних (однакових) рангів;

t_l – кількість зв’язаних рангів в кожній групі.

2) Критерій Пірсона:

(6.13)

3) Дисперсія оцінок, даних j-му фактору:

(6.14)

4) Коефіцієнт варіації оцінок, даних j-му фактору:

(6.15)

5) Загальна дисперсія оцінок:

(6.16)

де

(6.17)

6) Загальна дисперсія рангів:

(6.18)

де

(6.19)

7) Коефіцієнт парної рангової кореляції між оцінками 2-ох експертів:

(6.20)

де y_j – різниця по модулю величин рангів оцінок j-ого фактору, поставлених експертами a і b;

(6.21)

Т_a, Т_b – показники зв’язаних рангів оцінок експертів a і b, що визначаються аналогічно, як і для коефіцієнта конкордації.

8) Інформаційна міра збігу думок Устюжанінова:

(6.22)

де Е_a_b – міра збігу думок експертів a і b;

n_a_b – кількість факторів, однаково оцінених експертами a і b по балах;

n_a , n_b – кількість факторів, оцінених відповідно експертами a і b (якщо фактор оцінено в 0 балів, то в кількість оцінених він не включається).

Застосовуючи формули 9-12, розрахуємо для нашого прикладу коефіцієнт конкордації. Даний коефіцієнт дорівнює 0,905. Оскільки коефіцієнт конкордації приймає значення від 0 до 1, то можна зробити висновок, що в нашому прикладі між експертами існує висока ступінь узгодженості.

Перевіримо коефіцієнт конкордації на статистичну істотність, для чого розрахуємо критерій Пірсона за формулою 13. Даний критерій дорівнює 32,569. Знайдемо для наших даних табличне значення критерію Пірсона. При ймовірності 0,95 він дорівнює 16,92. Фактичне значення критерію перевищує табличне і тому можна зробити висновок, що розрахований коефіцієнт конкордації є статистично істотним.

Визначимо, в якій мірі кожний експерт впливає на узагальнену узгодженість групи. Для цього послідовно виключимо один з експертів та обчислимо коефіцієнт конкордації і критерій Пірсона без врахування думок виключеного експерта (див. табл. 6.6).

Таблиця 6.6 – Коефіцієнт конкордації, обчислений шляхом послідовного виключення одного з експертів, і критерій Пірсона

Виключається експерт	Значення
Виключається експерт	Коефіцієнта конкордації	Істотності коефіцієнта конкордації (Пірсон)
0	0,9050	32,57
1	0,9290	25,08
2	0,9300	25,10
3	0,9080	24,52
4	0,8940	24,14

Таким чином, виключення 1 чи 2 експерта сприятливо впливає на узгодженість думок експертів. Виключення 4-го знижує загальну узгодженість всієї групи, а виключення 3-го практично не впливає на зміну показника узгодженості експертів.

В таблиці 6.7 наведені результати розрахунків дисперсії оцінок та коефіцієнтів варіації оцінок по всіх факторах (розрахунки за формулами 14-15).

Таблиця 6.7 – Показники узгодженості думок експертів по певних факторах

Показник	Позна-чення	Фактори
Показник	Позна-чення	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Дисперсія оцінки	s²_j	91,667	91,667	66,667	100,000	291,667	158,333	66,667	166,667	905,556	566,667
Крефіцієнт варіації оцінок, %	g_j	10,35	10,35	9,07	13,33	25,30	20,13	16,33	28,69	82,07	68,01

Загальна дисперсія оцінок дорівнює 8,164, загальна оцінка рангів – 509,091.

Розрахуємо коефіцієнти парної рангової кореляції. Для цього використаємо формули 20-21. Результати представимо у вигляді матриці (табл. 6.8).

Таблиця 6.8 – Матриця коефіцієнтів парної рангової кореляції

Фактори	Експерти
Фактори	1	2	3	4
1	1	0,803	0,886	0,867
2		1	0,833	0,916
3			1	0,93
4				1

Із значень коефіцієнтів парної рангової кореляції виходить, що ступінь збігу думок між парами експертів достатньо велика, особливо між 2, 4 та 3, 4 експертами.

Розрахуємо інформаційну міру збігу думок Устюжанінова. Для цього використаємо формулу 6.22. Результати представимо у вигляді матриці (табл. 6.9).

Таблиця 6.9 – Матриця показників інформаційної міри збігу думок експертів

Фактори	Експерти
Фактори	1	2	3	4
1	1	0,100	0	0,211
2		1	0,2	0,211
3			1	0,106
4				1

Із значень показників інформаційної міри збігу думок експертів виходить, що думки збігаються у експертів 1 і 4, 2 і 4, 2 і 3 найліпше. Тобто дані пари експертів більше факторів оцінили однаково.

Загальний висновок дослідження полягає в тому, що експерти перевагу надали 1-3 фактором. При цьому цим результатам можна довіряти, оскільки між експертами достатньо велика ступінь узгодженості їх думок.

Контрольні запитання

1. В яких випадках застосовують експертні методи прогнозування?

2. Що таке матриці рангів і переваг факторів і як вони будуються?

3. Які показники порівняльної важливості факторів розраховуються при застосуванні методу експертних оцінок?

4. Як оцінюється ступінь узгодженості думок експертів?

5. Як розраховується коефіцієнт узгодженості думок експертів?

6. Як будується матриця коефіцієнтів парної рангової кореляції думок експертів?

7. Як розраховуються показники інформаційної міри збігу думок експертів?

8. Як розраховується показник частоти максимально можливих оцінок?

9. Як розраховується середня вага кожного фактору?

10.Як розраховується активність експертів по кожному напрямку?

11.Які показники розраховуються для оцінки узагальненої міри узгодженості думок експертів?

12.Який зміст та як розраховується коефіцієнт конкордації?

13.Для чого застосовується і як розраховується коефіцієнт Пірсона?

14.Як встановлюється, в якій мірі кожний експерт впливає на узагальнену узгодженість групи?

Показник	Позначення	Фактори
Показник	Позначення	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Сума рангів	Sj	7,5	8,5	10,0	16,0	20,0	23,5	29,0	31,5	38,5	35,5
Середній ранг	Ssj	1,88	2,13	2,50	4,00	5,00	5,88	7,25	7,88	9,63	8,88
Середнє значення в балах	Mj	92,50	92,50	90,00	75,00	67,50	62,50	50,00	45,00	36,67	35,00
Частота максимально можливих оцінок	K100j	0,5	0,5	0,3	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0
Середня вага (нормована оцінка)	Wj	0,146	0,147	0,145	0,119	0,105	0,098	0,079	0,070	0,040	0,052
Розмах	Lj	20	20	20	20	40	30	20	30	50	50
Коефіцієнт активності експертів	Kа j	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	0,75	1,00