Тема: Прогнозування шляхом згладжування. Сезонне прогнозування.
Мета роботи: отримання практичних навичок
аналізу часових рядів. Застосування
методів згладжування та декомпозиції часового ряду для сезонного прогнозування.
Обладнання: ПК.
Програмне забезпечення для ЕОМ: MS Excel, MathCAD.
Завдання 1. Сезонні зміни і метод ковзного середнього.
Фірма “А” на
період 1-4 квартал 2004 р. бажає отримати прогноз обсягу продажу товарів. Дані
про обсяги їх продажу за попередні 5 років надані в таблиці 1 (студент обирає
свій варіант).
1.
Використайте метод ковзних середніх і сезонних індексів для
прогнозування обсягу продажу на 4 квартали 2004р.
2.
Для здійснення коригування сезонних індексів побудувати
графіки з трендами, за якими визначити тенденцію продажів.
3.
Використати 2-а способи визначення прогнозних значень (через
десезоналізовані значення 2-го порядку та через сезонну модель). Зробити
висновки щодо отриманих результатів.
4.
Письмово зробити висновки.
Таблиця 3.1 – Нерегульований квартальний обсяг
продажів за 1999-2003 р. (у тис. грн.) за варіантами
1 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
200 |
270 |
260 |
310 |
330 |
2 |
380 |
410 |
350 |
440 |
450 |
3 |
310 |
300 |
270 |
300 |
330 |
4 |
230 |
170 |
180 |
210 |
230 |
Разом |
1120 |
1150 |
1060 |
1260 |
1340 |
Продовження таблиці
3.1 |
|||||
2 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
300 |
270 |
260 |
310 |
330 |
2 |
380 |
290 |
300 |
440 |
450 |
3 |
290 |
350 |
410 |
290 |
330 |
4 |
270 |
300 |
300 |
200 |
230 |
Разом |
1240 |
1210 |
1270 |
1240 |
1340 |
3 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
200 |
250 |
230 |
310 |
300 |
2 |
300 |
410 |
350 |
400 |
450 |
3 |
350 |
340 |
260 |
300 |
330 |
4 |
230 |
170 |
180 |
200 |
230 |
Разом |
1080 |
1170 |
1020 |
1210 |
1310 |
4 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
190 |
270 |
220 |
310 |
200 |
2 |
380 |
405 |
350 |
440 |
450 |
3 |
120 |
390 |
270 |
170 |
330 |
4 |
230 |
170 |
180 |
210 |
230 |
Разом |
920 |
1235 |
1020 |
1130 |
1210 |
5 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
200 |
270 |
260 |
310 |
330 |
2 |
300 |
300 |
350 |
440 |
450 |
3 |
310 |
350 |
360 |
300 |
330 |
4 |
100 |
170 |
400 |
210 |
230 |
Разом |
910 |
1090 |
1370 |
1260 |
1340 |
6 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
200 |
270 |
180 |
190 |
330 |
2 |
380 |
320 |
350 |
220 |
250 |
3 |
310 |
300 |
270 |
300 |
330 |
4 |
230 |
290 |
180 |
210 |
230 |
Разом |
1120 |
1180 |
980 |
920 |
1140 |
7 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
270 |
230 |
250 |
250 |
330 |
2 |
300 |
290 |
350 |
280 |
450 |
3 |
310 |
300 |
270 |
300 |
400 |
4 |
230 |
200 |
200 |
320 |
350 |
Разом |
1110 |
1020 |
1070 |
1150 |
1530 |
Продовження таблиці
3.1 |
|||||
8 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
200 |
270 |
260 |
310 |
330 |
2 |
350 |
200 |
350 |
440 |
400 |
3 |
310 |
300 |
270 |
300 |
330 |
4 |
230 |
250 |
300 |
210 |
230 |
Разом |
1090 |
1020 |
1180 |
1260 |
1290 |
9 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
120 |
270 |
260 |
170 |
260 |
2 |
140 |
250 |
350 |
160 |
280 |
3 |
190 |
300 |
270 |
190 |
330 |
4 |
230 |
280 |
180 |
210 |
230 |
Разом |
680 |
1100 |
1060 |
730 |
1100 |
10 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
200 |
340 |
260 |
310 |
330 |
2 |
320 |
410 |
350 |
270 |
450 |
3 |
310 |
300 |
270 |
300 |
330 |
4 |
230 |
300 |
180 |
210 |
230 |
Разом |
1060 |
1350 |
1060 |
1090 |
1340 |
11 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
200 |
270 |
260 |
310 |
330 |
2 |
380 |
410 |
300 |
440 |
300 |
3 |
310 |
360 |
270 |
300 |
330 |
4 |
230 |
170 |
300 |
210 |
200 |
Разом |
1120 |
1210 |
1130 |
1260 |
1160 |
12 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
200 |
270 |
260 |
310 |
330 |
2 |
380 |
410 |
350 |
440 |
450 |
3 |
310 |
300 |
270 |
300 |
330 |
4 |
350 |
360 |
180 |
210 |
230 |
Разом |
1240 |
1340 |
1060 |
1260 |
1340 |
13варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
200 |
270 |
260 |
310 |
330 |
2 |
380 |
410 |
350 |
400 |
450 |
3 |
310 |
300 |
270 |
370 |
330 |
4 |
230 |
190 |
180 |
210 |
250 |
Разом |
1120 |
1170 |
1060 |
1290 |
1360 |
Продовження таблиці
3.1 |
|||||
14 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
200 |
270 |
260 |
310 |
330 |
2 |
380 |
410 |
300 |
200 |
340 |
3 |
310 |
380 |
270 |
300 |
330 |
4 |
230 |
170 |
150 |
210 |
230 |
Разом |
1120 |
1230 |
980 |
1020 |
1230 |
15 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
200 |
300 |
260 |
270 |
330 |
2 |
380 |
320 |
200 |
310 |
300 |
3 |
310 |
190 |
270 |
300 |
330 |
4 |
370 |
170 |
200 |
250 |
280 |
Разом |
1260 |
980 |
930 |
1130 |
1240 |
16 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
210 |
310 |
270 |
280 |
340 |
2 |
390 |
330 |
210 |
320 |
310 |
3 |
320 |
200 |
280 |
310 |
340 |
4 |
380 |
180 |
210 |
260 |
290 |
Разом |
1300 |
1020 |
970 |
1170 |
1280 |
17 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
195 |
265 |
255 |
305 |
325 |
2 |
375 |
405 |
295 |
195 |
335 |
3 |
305 |
375 |
265 |
295 |
325 |
4 |
225 |
165 |
145 |
205 |
225 |
Разом |
1100 |
1210 |
960 |
1000 |
1210 |
18 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
205 |
275 |
265 |
315 |
335 |
2 |
385 |
415 |
355 |
405 |
455 |
3 |
315 |
305 |
275 |
375 |
335 |
4 |
235 |
195 |
185 |
215 |
255 |
Разом |
1140 |
1190 |
1080 |
1310 |
1380 |
19 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
185 |
255 |
245 |
295 |
315 |
2 |
365 |
395 |
335 |
425 |
435 |
3 |
295 |
285 |
255 |
285 |
315 |
4 |
335 |
345 |
165 |
195 |
215 |
Разом |
1180 |
1280 |
1000 |
1200 |
1280 |
Продовження таблиці
3.1 |
|||||
20 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
215 |
285 |
275 |
325 |
345 |
2 |
395 |
425 |
315 |
455 |
315 |
3 |
325 |
375 |
285 |
315 |
345 |
4 |
245 |
185 |
315 |
225 |
215 |
Разом |
1180 |
1270 |
1190 |
1320 |
1220 |
21 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
180 |
320 |
240 |
290 |
310 |
2 |
300 |
390 |
330 |
250 |
430 |
3 |
290 |
280 |
250 |
280 |
310 |
4 |
210 |
280 |
160 |
190 |
210 |
Разом |
980 |
1270 |
980 |
1010 |
1260 |
22 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
137 |
287 |
277 |
187 |
277 |
2 |
157 |
267 |
367 |
177 |
297 |
3 |
207 |
317 |
287 |
207 |
347 |
4 |
247 |
297 |
197 |
227 |
247 |
Разом |
748 |
1168 |
1128 |
798 |
1168 |
23 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
180 |
250 |
240 |
290 |
310 |
2 |
330 |
180 |
330 |
420 |
380 |
3 |
290 |
280 |
250 |
280 |
310 |
4 |
210 |
230 |
280 |
190 |
210 |
Разом |
1010 |
940 |
1100 |
1180 |
1210 |
24 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
260 |
220 |
240 |
240 |
320 |
2 |
290 |
280 |
340 |
270 |
440 |
3 |
300 |
290 |
260 |
290 |
390 |
4 |
220 |
190 |
190 |
310 |
340 |
Разом |
1070 |
980 |
1030 |
1110 |
1490 |
25 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
470 |
500 |
430 |
440 |
660 |
2 |
680 |
610 |
700 |
500 |
700 |
3 |
620 |
600 |
540 |
600 |
730 |
4 |
460 |
490 |
380 |
530 |
580 |
Разом |
2230 |
2200 |
2050 |
2070 |
2670 |
Продовження таблиці
3.1 |
|||||
26 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
400 |
540 |
440 |
500 |
660 |
2 |
680 |
620 |
700 |
660 |
700 |
3 |
620 |
650 |
630 |
600 |
660 |
4 |
580 |
460 |
580 |
420 |
460 |
Разом |
2280 |
2270 |
2350 |
2180 |
2480 |
27 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
370 |
510 |
490 |
590 |
630 |
2 |
730 |
790 |
520 |
850 |
870 |
3 |
590 |
570 |
510 |
570 |
630 |
4 |
430 |
530 |
330 |
390 |
430 |
Разом |
2120 |
2400 |
1850 |
2400 |
2560 |
28 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
350 |
320 |
310 |
360 |
380 |
2 |
430 |
340 |
350 |
490 |
500 |
3 |
340 |
400 |
460 |
340 |
380 |
4 |
320 |
350 |
350 |
250 |
280 |
Разом |
1440 |
1410 |
1470 |
1440 |
1540 |
29 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
750 |
860 |
750 |
860 |
1040 |
2 |
1110 |
960 |
1050 |
1150 |
1200 |
3 |
960 |
1050 |
1090 |
940 |
1040 |
4 |
900 |
810 |
930 |
670 |
740 |
Разом |
3720 |
3680 |
3820 |
3620 |
4020 |
30 варіант |
|||||
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
415 |
555 |
535 |
635 |
675 |
2 |
775 |
835 |
665 |
855 |
765 |
3 |
635 |
675 |
555 |
685 |
675 |
4 |
475 |
375 |
495 |
435 |
465 |
Разом |
2300 |
2440 |
2250 |
2610 |
2580 |
Методичні
вказівки до виконання завдання 1
Приклад: дані про обсяги продажу за попередні 5 років
надані в таблиці 3.2.
Таблиця 3.2 – Обсяги
продажу за попередні 5 років
Квартал |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
1 |
190 |
280 |
270 |
300 |
320 |
2 |
370 |
420 |
360 |
430 |
440 |
3 |
300 |
310 |
280 |
290 |
320 |
4 |
220 |
180 |
190 |
200 |
220 |
Разом |
1080 |
1190 |
1100 |
1220 |
1300 |
Сезонні зміни враховуються в прогнозі за допомогою
сезонного індексу, який може бути розрахований за методом ковзного середнього.
Ковзне середнє розраховується шляхом підсумовування значень за кожен період
протягом деякого обраного проміжку часу і наступного розподілу отриманої суми
на кількість періодів. Використовуючи дані, наведені в табл. 2, розрахувати
ковзне середнє і визначити сезонний індекс, а також скласти прогноз на наступні
4 квартали.
Дані,
наведені в табл. 3.2 спочатку необхідно перегрупувати, після чого розрахувати
чотириперіодні ковзні середні, центровані ковзні середні і сезонні індекси.
Результати цих розрахунків отримуються за допомогою чотирьохкрокової процедури.
Крок
1. Розраховується ковзне середнє за чотири періоди за допомогою послідовного
набору обсягів продажу за чотири квартали, починаючи з чотирьох кварталів 1-го
року і т.д. Кожне наступне обчислення не включає найперший квартал і додає наступний
квартал.
Крок
2. Чотирьохперіодні ковзні середні, отримані на кроці 1, розташовані між
квартальними даними, що нас не влаштовує. Нам потрібні ковзні середні,
розміщені в центрі квартальних даних. Для того, щоб одержати їх, потрібно
розрахувати центровані ковзні середні.
Центроване
ковзне середнє для кожного кварталу розраховується як середнє кожної
послідовної пари чотириперіодних ковзних середніх.
Крок
3. Сезонні індекси розраховуються шляхом розподілу фактичного обсягу продажів
за відповідний квартал на центроване ковзне середнє за той же період.
Крок
4. Упорядкувати сезонні індекси поквартальне і розрахувати середній сезонний
індекс для кожного кварталу. Приклад таблиця 3.3.
Таблиця 3.3 – Дані для розрахунку усереднених
сезонних індексів
|
1 |
2 |
3 |
4 |
1995 |
– |
– |
1,07 |
0,74 |
1996 |
0,91 |
1,39 |
1,05 |
0,63 |
1997 |
0,98 |
1,32 |
1,00 |
0,65 |
1998 |
1,00 |
1,42 |
0,94 |
0,64 |
1999 |
1,01 |
1,36 |
– |
– |
Разом |
3,90 |
5,48 |
4,06 |
2,66 |
Середній сезонний індекс |
0,97 |
1,37 |
1,02 |
0,66 |
Крок 5. Цифри, наведені в табл. 3, є просто приблизними
оцінками значень сезонних індексів, тому їх можна уточнити за допомогою деяких
коректувань. По-перше, треба зробити нормалізацію - тобто переконатися, що
середнє значення чотирьох середніх сезонних індексів дорівнює 1:
(0,97+1,37+1,02+0,66)/4 = 1,0063.
Ця
невелика погрішність може бути компенсована шляхом використання індексу
корегування, значення якого для нашого прикладу дорівнює 0,025. Проте краще
досліджувати значення сезонних індексів на наявність тренда чи інших
закономірностей розподілу. Дані, представлені в табл. 3, показують, що Q1
зростає, Q2 коливається досить закономірно щодо середнього значення,
Q3, також коливається щодо свого середнього значення, а Q4
спочатку різко падає, а потім коливається вгору-вниз досить закономірно у
вузькому інтервалі. Ці зміни повинні бути виявлені і включені до скоректованого
сезонного індексу.
В
цьому випадку необхідно скорегувати сезонні індекси нагору і вниз, чи виявити
тренди, зберігаючи при цьому середнє значення для чотирьох індексів рівним 1.
Скореговані сезонні індекси Q1 = 1,00, Q2 = 1,37, Q3 =
0,99, Q4 = 0,64.
Крок
6. (1 спосіб) Цей останній крок полягає в складанні прогнозу для кожного з
кварталів наступного, у даному випадку на 2004 р. Необхідно помножити найостанніше
центроване ковзне середнє за квартал на його регульований сезонний індекс.
Крок
6. (2 спосіб) Розрахувати остаточні десезоналізовані значення за формулою:
, (3.1)
Побудувати
лінійний тренд для десезоналізованих значень і знайти . Використовуючи формулу (3.1) знайти
, підставив до неї значення
. Таким чином, отримаємо значення сезонної моделі і зробимо
прогноз на рік уперед, враховуючи, що період розбитий на квартали.
Банк “Б” бажає отримати прогноз залишків депозитних коштів на
період з 06 по 10 вересня 2004р. Вхідні дані подано в таблиці 3.4.
1.
Побудувати прогноз на основі лінійної моделі із застосуванням
методу Брауна-Маєра та методу найменших квадратів.
2.
Побудувати прогноз на основі параболи другого порядку із
застосуванням методу Брауна-Маєра та методу найменших квадратів.
3.
Побудувати графіки, на яких відобразити фактичні та прогнозні
значення з урахуванням оптимістичного та песимістичного прогнозу.
4.
Письмово зробити висновки про результати прогнозування.
Таблиця
3.4 – Варіанти залишків коштів на депозитних рахунках
Дата |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
06.08.2004 |
10791,38 |
10691,38 |
10591,38 |
10491,38 |
10391,38 |
10291,38 |
10191,38 |
10091,38 |
9991,38 |
9891,38 |
9791,38 |
9691,38 |
09.08.2004 |
10652,78 |
10752,78 |
10852,78 |
10952,78 |
11052,78 |
11152,78 |
11252,78 |
11352,78 |
11452,78 |
11552,78 |
11652,78 |
11752,78 |
10.08.2004 |
12589,85 |
12539,85 |
12489,85 |
12439,85 |
12389,85 |
12339,85 |
12289,85 |
12239,85 |
12189,85 |
12139,85 |
12089,85 |
12039,85 |
11.08.2004 |
11617,38 |
11587,38 |
11557,38 |
11527,38 |
11497,38 |
11467,38 |
11437,38 |
11407,38 |
11377,38 |
11347,38 |
11317,38 |
11287,38 |
12.08.2004 |
12555,45 |
12495,45 |
12435,45 |
12375,45 |
12315,45 |
12255,45 |
12195,45 |
12135,45 |
12075,45 |
12015,45 |
11955,45 |
11895,45 |
13.08.2004 |
11617,38 |
11547,38 |
11477,38 |
11407,38 |
11337,38 |
11267,38 |
11197,38 |
11127,38 |
11057,38 |
10987,38 |
10917,38 |
10847,38 |
16.08.2004 |
9686,60 |
9786,60 |
9886,60 |
9986,60 |
10086,60 |
10186,60 |
10286,60 |
10386,60 |
10486,60 |
10586,60 |
10686,60 |
10786,60 |
17.08.2004 |
10631,08 |
10661,08 |
10691,08 |
10721,08 |
10751,08 |
10781,08 |
10811,08 |
10841,08 |
10871,08 |
10901,08 |
10931,08 |
10961,08 |
18.08.2004 |
8734,43 |
8934,43 |
9134,43 |
9334,43 |
9534,43 |
9734,43 |
9934,43 |
10134,43 |
10334,43 |
10534,43 |
10734,43 |
10934,43 |
19.08.2004 |
9820,65 |
9970,65 |
10120,65 |
10270,65 |
10420,65 |
10570,65 |
10720,65 |
10870,65 |
11020,65 |
11170,65 |
11320,65 |
11470,65 |
20.08.2004 |
10343,03 |
10323,03 |
10303,03 |
10283,03 |
10263,03 |
10243,03 |
10223,03 |
10203,03 |
10183,03 |
10163,03 |
10143,03 |
10123,03 |
23.08.2004 |
9703,05 |
9718,05 |
9733,05 |
9748,05 |
9763,05 |
9778,05 |
9793,05 |
9808,05 |
9823,05 |
9838,05 |
9853,05 |
9868,05 |
24.08.2004 |
10979,68 |
11004,68 |
11029,68 |
11054,68 |
11079,68 |
11104,68 |
11129,68 |
11154,68 |
11179,68 |
11204,68 |
11229,68 |
11254,68 |
25.08.2004 |
11642,05 |
11552,05 |
11462,05 |
11372,05 |
11282,05 |
11192,05 |
11102,05 |
11012,05 |
10922,05 |
10832,05 |
10742,05 |
10652,05 |
26.08.2004 |
11316,55 |
11236,55 |
11156,55 |
11076,55 |
10996,55 |
10916,55 |
10836,55 |
10756,55 |
10676,55 |
10596,55 |
10516,55 |
10436,55 |
27.08.2004 |
9383,15 |
9433,15 |
9483,15 |
9533,15 |
9583,15 |
9633,15 |
9683,15 |
9733,15 |
9783,15 |
9833,15 |
9883,15 |
9933,15 |
30.08.2004 |
9592,98 |
9692,98 |
9792,98 |
9892,98 |
9992,98 |
10092,98 |
10192,98 |
10292,98 |
10392,98 |
10492,98 |
10592,98 |
10692,98 |
31.08.2004 |
9227,93 |
9327,93 |
9427,93 |
9527,93 |
9627,93 |
9727,93 |
9827,93 |
9927,93 |
10027,93 |
10127,93 |
10227,93 |
10327,93 |
01.09.2004 |
8122,10 |
8292,10 |
8462,10 |
8632,10 |
8802,10 |
8972,10 |
9142,10 |
9312,10 |
9482,10 |
9652,10 |
9822,10 |
9992,10 |
02.09.2004 |
9513,10 |
9633,10 |
9753,10 |
9873,10 |
9993,10 |
10113,10 |
10233,10 |
10353,10 |
10473,10 |
10593,10 |
10713,10 |
10833,10 |
03.09.2004 |
11571,35 |
11551,35 |
11531,35 |
11511,35 |
11491,35 |
11471,35 |
11451,35 |
11431,35 |
11411,35 |
11391,35 |
11371,35 |
11351,35 |
Продовження
таблиці 3.4 – Варіанти залишків коштів на депозитних рахунках
Дата |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
06.08.2004 |
9591,38 |
9491,38 |
9391,38 |
9291,38 |
9191,38 |
9091,38 |
8991,38 |
8891,38 |
8791,38 |
8691,38 |
8591,38 |
8491,38 |
09.08.2004 |
11852,78 |
11952,78 |
12052,78 |
12152,78 |
12252,78 |
12352,78 |
12452,78 |
12552,78 |
12652,78 |
12752,78 |
12852,78 |
12952,78 |
10.08.2004 |
11989,85 |
11939,85 |
11889,85 |
11839,85 |
11789,85 |
11739,85 |
11689,85 |
11639,85 |
11589,85 |
11539,85 |
11489,85 |
11439,85 |
11.08.2004 |
11257,38 |
11227,38 |
11197,38 |
11167,38 |
11137,38 |
11107,38 |
11077,38 |
11047,38 |
11017,38 |
10987,38 |
10957,38 |
10927,38 |
12.08.2004 |
11835,45 |
11775,45 |
11715,45 |
11655,45 |
11595,45 |
11535,45 |
11475,45 |
11415,45 |
11355,45 |
11295,45 |
11235,45 |
11175,45 |
13.08.2004 |
10777,38 |
10707,38 |
10637,38 |
10567,38 |
10497,38 |
10427,38 |
10357,38 |
10287,38 |
10217,38 |
10147,38 |
10077,38 |
10007,38 |
16.08.2004 |
10886,60 |
10986,60 |
11086,60 |
11186,60 |
11286,60 |
11386,60 |
11486,60 |
11586,60 |
11686,60 |
11786,60 |
11886,60 |
11986,60 |
17.08.2004 |
10991,08 |
11021,08 |
11051,08 |
11081,08 |
11111,08 |
11141,08 |
11171,08 |
11201,08 |
11231,08 |
11261,08 |
11291,08 |
11321,08 |
18.08.2004 |
11134,43 |
11334,43 |
11534,43 |
11734,43 |
11934,43 |
12134,43 |
12334,43 |
12534,43 |
12734,43 |
12934,43 |
13134,43 |
13334,43 |
19.08.2004 |
11620,65 |
11770,65 |
11920,65 |
12070,65 |
12220,65 |
12370,65 |
12520,65 |
12670,65 |
12820,65 |
12970,65 |
13120,65 |
13270,65 |
20.08.2004 |
10103,03 |
10083,03 |
10063,03 |
10043,03 |
10023,03 |
10003,03 |
9983,03 |
9963,03 |
9943,03 |
9923,03 |
9903,03 |
9883,03 |
23.08.2004 |
9883,05 |
9898,05 |
9913,05 |
9928,05 |
9943,05 |
9958,05 |
9973,05 |
9988,05 |
10003,05 |
10018,05 |
10033,05 |
10048,05 |
24.08.2004 |
11279,68 |
11304,68 |
11329,68 |
11354,68 |
11379,68 |
11404,68 |
11429,68 |
11454,68 |
11479,68 |
11504,68 |
11529,68 |
11554,68 |
25.08.2004 |
10562,05 |
10472,05 |
10382,05 |
10292,05 |
10202,05 |
10112,05 |
10022,05 |
9932,05 |
9842,05 |
9752,05 |
9662,05 |
9572,05 |
26.08.2004 |
10356,55 |
10276,55 |
10196,55 |
10116,55 |
10036,55 |
9956,55 |
9876,55 |
9796,55 |
9716,55 |
9636,55 |
9556,55 |
9476,55 |
27.08.2004 |
9983,15 |
10033,15 |
10083,15 |
10133,15 |
10183,15 |
10233,15 |
10283,15 |
10333,15 |
10383,15 |
10433,15 |
10483,15 |
10533,15 |
30.08.2004 |
10792,98 |
10892,98 |
10992,98 |
11092,98 |
11192,98 |
11292,98 |
11392,98 |
11492,98 |
11592,98 |
11692,98 |
11792,98 |
11892,98 |
31.08.2004 |
10427,93 |
10527,93 |
10627,93 |
10727,93 |
10827,93 |
10927,93 |
11027,93 |
11127,93 |
11227,93 |
11327,93 |
11427,93 |
11527,93 |
01.09.2004 |
10162,10 |
10332,10 |
10502,10 |
10672,10 |
10842,10 |
11012,10 |
11182,10 |
11352,10 |
11522,10 |
11692,10 |
11862,10 |
12032,10 |
02.09.2004 |
10953,10 |
11073,10 |
11193,10 |
11313,10 |
11433,10 |
11553,10 |
11673,10 |
11793,10 |
11913,10 |
12033,10 |
12153,10 |
12273,10 |
03.09.2004 |
11331,35 |
11311,35 |
11291,35 |
11271,35 |
11251,35 |
11231,35 |
11211,35 |
11191,35 |
11171,35 |
11151,35 |
11131,35 |
11111,35 |
Продовження таблиці 3.4 – Варіанти
залишків коштів на депозитних рахунках
Дата |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
06.08.2004 |
8391,38 |
8291,38 |
8191,38 |
8091,38 |
19882,76 |
29174,14 |
09.08.2004 |
13052,78 |
13152,78 |
13252,78 |
13352,78 |
23005,56 |
35158,34 |
10.08.2004 |
11389,85 |
11339,85 |
11289,85 |
11239,85 |
24329,70 |
36169,55 |
11.08.2004 |
10897,38 |
10867,38 |
10837,38 |
10807,38 |
22724,76 |
33892,14 |
12.08.2004 |
11115,45 |
11055,45 |
10995,45 |
10935,45 |
24090,90 |
35746,35 |
13.08.2004 |
9937,38 |
9867,38 |
9797,38 |
9727,38 |
22044,76 |
32612,14 |
16.08.2004 |
12086,60 |
12186,60 |
12286,60 |
12386,60 |
21073,20 |
32259,80 |
17.08.2004 |
11351,08 |
11381,08 |
11411,08 |
11441,08 |
21772,16 |
32853,24 |
18.08.2004 |
13534,43 |
13734,43 |
13934,43 |
14134,43 |
20868,85 |
32603,28 |
19.08.2004 |
13420,65 |
13570,65 |
13720,65 |
13870,65 |
22191,30 |
34261,95 |
20.08.2004 |
9863,03 |
9843,03 |
9823,03 |
9803,03 |
20346,06 |
30389,09 |
23.08.2004 |
10063,05 |
10078,05 |
10093,05 |
10108,05 |
19661,10 |
29589,15 |
24.08.2004 |
11579,68 |
11604,68 |
11629,68 |
11654,68 |
22384,36 |
33739,04 |
25.08.2004 |
9482,05 |
9392,05 |
9302,05 |
9212,05 |
21754,10 |
32046,15 |
26.08.2004 |
9396,55 |
9316,55 |
9236,55 |
9156,55 |
21273,10 |
31389,65 |
27.08.2004 |
10583,15 |
10633,15 |
10683,15 |
10733,15 |
19616,30 |
29749,45 |
30.08.2004 |
11992,98 |
12092,98 |
12192,98 |
12292,98 |
20885,95 |
31978,93 |
31.08.2004 |
11627,93 |
11727,93 |
11827,93 |
11927,93 |
20155,85 |
30883,78 |
01.09.2004 |
12202,10 |
12372,10 |
12542,10 |
12712,10 |
19134,20 |
29806,30 |
02.09.2004 |
12393,10 |
12513,10 |
12633,10 |
12753,10 |
21066,20 |
32379,30 |
03.09.2004 |
11091,35 |
11071,35 |
11051,35 |
11031,35 |
22802,70 |
34074,05 |
Методичні
вказівки до виконання завдання 2
Приклад: вхідні дані, для яких
потрібно зробити прогноз на 17.01.04 та 18.01.04 подано в таблиці 3.5.
Таблиця
3.5 – Вхідні дані
Дата |
Залишки, тис.грн. |
10.01.04 |
1000 |
11.01.04 |
1200 |
12.01.04 |
1250 |
13.01.04 |
1150 |
14.01.04 |
1080 |
Тренд
описується многочленом 1-го та 2-го порядків:
Yt = A0 + A1t (3.2)
Yt = A0 + A1t + A2t2 (3.3)
n A0 + A1 St
= S Y,
A0 S t
+ A1 S t2 =
S
Yt.
При S
t = 0 ця система спрощується, а формули для знаходження параметрів A0 i
A1 мають вигляд:
,
Для нашого
прикладу (n = 5) одержуємо:
Таким чином,
рівняння тренду першого порядку має вигляд:
Розглянемо
знаходження параметрів A0, A1, A2 рівняння (3.3).
Система
нормальних рівнянь:
n A0 + A1 St
+ A2 St2 = S
Y,
A0 S t
+ A1 S t2 +
A3 St3
= S
Yt,
A0S t2 +
A1 St3
+ A2 St4 = S
Yt2 .
Запишемо формули
для знаходження коефіцієнтів A0 , A1, A2 за
умови St = 0:
Для нашого
прикладу (n = 5) одержуємо:
;
Таким чином,
рівняння тренду другого порядку має вигляд:
Yt = 1234,571 + 11t – 49,2857t2
Для виконання
прогнозу було обрано метод експоненційного згладжування (метод Брауна-Маєра).
Його суть в тому, що часовий ряд вирівнюється за допомогою зваженої ковзної
середньої, ваги якої підпорядковані експоненційному закону. Зважена ковзна
середня з експоненційно розподіленими вагами характеризує значення процесу в
кінці досліджуваного проміжку, тобто є певною характеристикою рівнів ряду. Саме
ця властивість і використовується для прогнозування динаміки.
Прогноз
на основі лінійної моделі.
Нехай задано
лінійну модель:
Yt = A0 + t
Згідно з теоремою
Брауна-Маєра отримуємо систему рівнянь для знаходження невідомих параметрів A0
і A1 через експоненційні середні St1(Y) і St2(Y):
Звідси одержуємо:
Запишемо вирази
для знаходження експоненційних середніх:
І початкових
умов:
Прогноз знаходимо
за формулою:
Ybt+l = Ab0 + Ab1l ,
де l – період прогнозу.
Похибка при
лінійному прогнозуванні визначається за формулою:
де dYt -
середньоквадратична похибка, обчислена для відхилень від лінійного тренду, яка
розраховується:
де f - число
ступенів вільності (f = n – 2);
Yi i Yib (i=1,n) - відповідно, фактичні і теоретичні значення членів ряду.
У методі експоненційного згладжування
важливим моментом є вибір параметра згладжування a,
оскільки при різних його значеннях прогнозовані значення рівнів також різні. На
практиці для знаходження значень a користуються формулою:
Розрахунки:
Тренд ряду динаміки залишків депозитних
коштів, знайдений на основі методу найменших квадратів, має вигляд:
Параметр
згладжування a при n=5 становить:
a=2/(5+1)=0,33
Початкові
умови визначаємо за формулою:
S01(Y) = 1136 - 11 * (1 – 0,33) /
0,33 = 1114
S02(Y) = 1136 - 11 * 2*(1 – 0,33) /
0,33 = 1092
Далі
обчислюємо експоненційні середні першого і другого порядків за формулою:
St1(Y) = 0,33 * 1080 + 0,67 * 1114
= 1102,67
St2(Y) = 0,33 * 1102,67 + 0,67 * 1092 =
1095,56
Звідси оцінки параметрів лінійного тренду визначаються:
A0b = 2 * 1102,67 – 1095,56 =
1109,78
A1b = 0,5 * (1102,67-1095,56) =
3,56
Таким чином, прогноз здійснюється за моделлю:
Ytb = 1109,78 + 3,56 t
Середньоквадратична похибка:
dYt = (41702,22 / 3)1/2 =
117,90
Прогнозні значення в таблиці:
Дата |
Прогноз |
Похибка |
17.01.04 |
1120,44 |
172,74 |
18.01.04 |
1124 |
216,55 |
Для виконання розрахунків рекомендується
створити таблицю розрахунків:
Дата |
Залишок |
Період
(t) |
ti2 |
ti4 |
Yti*ti |
Yti*ti2 |
Y1 |
Y2 |
(Yti-Y1)2 |
(Yti-Y2)2 |
Якщо ряд динаміки
описується параболою другого порядку:
то основні
показники експоненційного згладжування розраховуються за такими формулами:
1)
початкові умови:
2)
експоненційні середні:
3)
оцінки коефіцієнтів тренду:
4)
модель, за якою здійснюється прогноз:
5)
похибка прогнозу:
,
де dYt -
середньоквадратична похибка, обчислена для відхилень від лінійного тренду, яка
розраховується:
де f - число
ступенів вільності (f = n – 2);
Yi i Yib (i=1,n) - відповідно, фактичні і теоретичні значення членів ряду.
Розрахунки:
Тренд ряду
динаміки залишків на рахунках банку, знайдений на основі методу найменших
квадратів, має вигляд:
Yt = 1234,571 + 11t –49,2857t2
Початкові умови
визначаємо за формулою:
S01(Y) =
1234,57 - 2 * 11+ 0,062 * (-49,29) = 1209,53
S02(Y) = 1234,57
- 4 * 11+ 0,086
* (-49,29) = 1186,31
S03(Y) = 1234,57
- 6 * 11+ 0,111
* (-49,29) = 1163,09
Експоненційні
середні:
St1(Y) = 0,33 * 1080 + 0,67 * 1209,53 =
1166,35
St2(Y) = 0,33 * 1166,35 + 0,67 * 1186,31
= 1179,66
St3(Y) = 0,33 * 1179,66 + 0,67 * 1163,09
= 1168,62
Оцінки
коефіцієнтів тренду:
A0b = 3 * (1166,35 - 1179,66) +
1168,62 = 1129,69
A1b = -68,09
A2b = -6,09
Модель, за якою
здійснюватиметься прогноз, матиме вигляд:
Ytb = 1129,69 - 68,09 t – ½ * 6,09 t2
Середньоквадратична
похибка:
dYt = 179,89
Прогнозні значення в таблиці:
Дата |
Прогноз |
Похибка |
17.01.04 |
897,03 |
207,73 |
18.01.04 |
807,64 |
216,21 |
Таким чином,
отримано два набори прогнозних значень, які можна використати як песимістичний
та оптимістичний прогнози.
Для виконання розрахунків рекомендується
доповнити таблицю розрахунків (таблицю, де проводилися розрахунки лінійної
моделі):
Y1
(прогн) |
Y2
(прогн) |
Yti-Y1пр |
Yti-Y2пр |
(Yti-Y1пр)2 |
(Yti-Y2пр)2 |
Контрольні питання:
1.
Що таке сезонний індекс? Як його визначити?
2.
Що таке десезоналізоване значення? Як воно визначається?
3.
Як визначається чотирьохперіодне ковзне середнє?
4.
Як визначається центроване ковзне середнє?
5.
Як відбувається корегування усереднених сезонних індексів?
6.
В чому сутність згладжування за допомогою методу
Брауна-Маєра?
7.
Яка модель в завданні 2 дає оптимістичний прогноз, а яка
песимістичний?
8.
Яка похибка є більшою: для лінійної чи параболічної моделі?
9.
Який прогноз Ви оберете і чому?