ПРАКТИЧНА РОБОТА №3

 

Тема: Прогнозування шляхом згладжування. Сезонне прогнозування.

Мета роботи: отримання практичних навичок аналізу часових рядів. Застосування методів згладжування та декомпозиції часового ряду для сезонного прогнозування.

Обладнання: ПК.

Програмне забезпечення для ЕОМ: MS Excel, MathCAD.

 

Завдання 1. Сезонні зміни і метод ковзного середнього.

Фірма “А” на період 1-4 квартал 2004 р. бажає отримати прогноз обсягу продажу товарів. Дані про обсяги їх продажу за попередні 5 років надані в таблиці 1 (студент обирає свій варіант).

1.      Використайте метод ковзних середніх і сезонних індексів для прогнозування обсягу продажу на 4 квартали 2004р.

2.      Для здійснення коригування сезонних індексів побудувати графіки з трендами, за якими визначити тенденцію продажів.

3.      Використати 2-а способи визначення прогнозних значень (через десезоналізовані значення 2-го порядку та через сезонну модель). Зробити висновки щодо отриманих результатів.

4.      Письмово зробити висновки.

 

Таблиця 3.1 – Нерегульований квартальний обсяг продажів за 1999-2003 р. (у тис. грн.) за варіантами

1 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

200

270

260

310

330

2

380

410

350

440

450

3

310

300

270

300

330

4

230

170

180

210

230

Разом

1120

1150

1060

1260

1340

Продовження таблиці 3.1

2 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

300

270

260

310

330

2

380

290

300

440

450

3

290

350

410

290

330

4

270

300

300

200

230

Разом

1240

1210

1270

1240

1340

3 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

200

250

230

310

300

2

300

410

350

400

450

3

350

340

260

300

330

4

230

170

180

200

230

Разом

1080

1170

1020

1210

1310

4 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

190

270

220

310

200

2

380

405

350

440

450

3

120

390

270

170

330

4

230

170

180

210

230

Разом

920

1235

1020

1130

1210

5 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

200

270

260

310

330

2

300

300

350

440

450

3

310

350

360

300

330

4

100

170

400

210

230

Разом

910

1090

1370

1260

1340

6 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

200

270

180

190

330

2

380

320

350

220

250

3

310

300

270

300

330

4

230

290

180

210

230

Разом

1120

1180

980

920

1140

7 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

270

230

250

250

330

2

300

290

350

280

450

3

310

300

270

300

400

4

230

200

200

320

350

Разом

1110

1020

1070

1150

1530

Продовження таблиці 3.1

8 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

200

270

260

310

330

2

350

200

350

440

400

3

310

300

270

300

330

4

230

250

300

210

230

Разом

1090

1020

1180

1260

1290

9 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

120

270

260

170

260

2

140

250

350

160

280

3

190

300

270

190

330

4

230

280

180

210

230

Разом

680

1100

1060

730

1100

10 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

200

340

260

310

330

2

320

410

350

270

450

3

310

300

270

300

330

4

230

300

180

210

230

Разом

1060

1350

1060

1090

1340

11 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

200

270

260

310

330

2

380

410

300

440

300

3

310

360

270

300

330

4

230

170

300

210

200

Разом

1120

1210

1130

1260

1160

12 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

200

270

260

310

330

2

380

410

350

440

450

3

310

300

270

300

330

4

350

360

180

210

230

Разом

1240

1340

1060

1260

1340

13варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

200

270

260

310

330

2

380

410

350

400

450

3

310

300

270

370

330

4

230

190

180

210

250

Разом

1120

1170

1060

1290

1360

Продовження таблиці 3.1

14 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

200

270

260

310

330

2

380

410

300

200

340

3

310

380

270

300

330

4

230

170

150

210

230

Разом

1120

1230

980

1020

1230

15 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

200

300

260

270

330

2

380

320

200

310

300

3

310

190

270

300

330

4

370

170

200

250

280

Разом

1260

980

930

1130

1240

16 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

210

310

270

280

340

2

390

330

210

320

310

3

320

200

280

310

340

4

380

180

210

260

290

Разом

1300

1020

970

1170

1280

17 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

195

265

255

305

325

2

375

405

295

195

335

3

305

375

265

295

325

4

225

165

145

205

225

Разом

1100

1210

960

1000

1210

18 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

205

275

265

315

335

2

385

415

355

405

455

3

315

305

275

375

335

4

235

195

185

215

255

Разом

1140

1190

1080

1310

1380

19 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

185

255

245

295

315

2

365

395

335

425

435

3

295

285

255

285

315

4

335

345

165

195

215

Разом

1180

1280

1000

1200

1280

Продовження таблиці 3.1

20 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

215

285

275

325

345

2

395

425

315

455

315

3

325

375

285

315

345

4

245

185

315

225

215

Разом

1180

1270

1190

1320

1220

21 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

180

320

240

290

310

2

300

390

330

250

430

3

290

280

250

280

310

4

210

280

160

190

210

Разом

980

1270

980

1010

1260

22 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

137

287

277

187

277

2

157

267

367

177

297

3

207

317

287

207

347

4

247

297

197

227

247

Разом

748

1168

1128

798

1168

23 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

180

250

240

290

310

2

330

180

330

420

380

3

290

280

250

280

310

4

210

230

280

190

210

Разом

1010

940

1100

1180

1210

24 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

260

220

240

240

320

2

290

280

340

270

440

3

300

290

260

290

390

4

220

190

190

310

340

Разом

1070

980

1030

1110

1490

25 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

470

500

430

440

660

2

680

610

700

500

700

3

620

600

540

600

730

4

460

490

380

530

580

Разом

2230

2200

2050

2070

2670

Продовження таблиці 3.1

26 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

400

540

440

500

660

2

680

620

700

660

700

3

620

650

630

600

660

4

580

460

580

420

460

Разом

2280

2270

2350

2180

2480

27 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

370

510

490

590

630

2

730

790

520

850

870

3

590

570

510

570

630

4

430

530

330

390

430

Разом

2120

2400

1850

2400

2560

28 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

350

320

310

360

380

2

430

340

350

490

500

3

340

400

460

340

380

4

320

350

350

250

280

Разом

1440

1410

1470

1440

1540

29 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

750

860

750

860

1040

2

1110

960

1050

1150

1200

3

960

1050

1090

940

1040

4

900

810

930

670

740

Разом

3720

3680

3820

3620

4020

30 варіант

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

415

555

535

635

675

2

775

835

665

855

765

3

635

675

555

685

675

4

475

375

495

435

465

Разом

2300

2440

2250

2610

2580

 

Методичні вказівки до виконання завдання 1

Приклад: дані про обсяги продажу за попередні 5 років надані в таблиці 3.2.

 

 

Таблиця 3.2 – Обсяги продажу за попередні 5 років

Квартал

1999

2000

2001

2002

2003

1

190

280

270

300

320

2

370

420

360

430

440

3

300

310

280

290

320

4

220

180

190

200

220

Разом

1080

1190

1100

1220

1300

 

Сезонні зміни враховуються в прогнозі за допомогою сезонного індексу, який може бути розрахований за методом ковзного середнього. Ковзне середнє розраховується шляхом підсумовування значень за кожен період протягом деякого обраного проміжку часу і наступного розподілу отриманої суми на кількість періодів. Використовуючи дані, наведені в табл. 2, розрахувати ковзне середнє і визначити сезонний індекс, а також скласти прогноз на наступні 4 квартали.

Дані, наведені в табл. 3.2 спочатку необхідно перегрупувати, після чого розрахувати чотириперіодні ковзні середні, центровані ковзні середні і сезонні індекси. Результати цих розрахунків отримуються за допомогою чотирьохкрокової процедури.

Крок 1. Розраховується ковзне середнє за чотири періоди за допомогою послідовного набору обсягів продажу за чотири квартали, починаючи з чотирьох кварталів 1-го року і т.д. Кожне наступне обчислення не включає найперший квартал і додає наступний квартал.

Крок 2. Чотирьохперіодні ковзні середні, отримані на кроці 1, розташовані між квартальними даними, що нас не влаштовує. Нам потрібні ковзні середні, розміщені в центрі квартальних даних. Для того, щоб одержати їх, потрібно розрахувати центровані ковзні середні.

Центроване ковзне середнє для кожного кварталу розраховується як середнє кожної послідовної пари чотириперіодних ковзних середніх.

Крок 3. Сезонні індекси розраховуються шляхом розподілу фактичного обсягу продажів за відповідний квартал на центроване ковзне середнє за той же період.

Крок 4. Упорядкувати сезонні індекси поквартальне і розрахувати середній сезонний індекс для кожного кварталу. Приклад таблиця 3.3.

 

Таблиця 3.3 – Дані для розрахунку усереднених сезонних індексів

 

1

2

3

4

1995

1,07

0,74

1996

0,91

1,39

1,05

0,63

1997

0,98

1,32

1,00

0,65

1998

1,00

1,42

0,94

0,64

1999

1,01

1,36

Разом

3,90

5,48

4,06

2,66

Середній сезонний індекс

0,97

1,37

1,02

0,66

 

Крок 5. Цифри, наведені в табл. 3, є просто приблизними оцінками значень сезонних індексів, тому їх можна уточнити за допомогою деяких коректувань. По-перше, треба зробити нормалізацію - тобто переконатися, що середнє значення чотирьох середніх сезонних індексів дорівнює 1:

(0,97+1,37+1,02+0,66)/4 = 1,0063.

Ця невелика погрішність може бути компенсована шляхом використання індексу корегування, значення якого для нашого прикладу дорівнює 0,025. Проте краще досліджувати значення сезонних індексів на наявність тренда чи інших закономірностей розподілу. Дані, представлені в табл. 3, показують, що Q1 зростає, Q2 коливається досить закономірно щодо середнього значення, Q3, також коливається щодо свого середнього значення, а Q4 спочатку різко падає, а потім коливається вгору-вниз досить закономірно у вузькому інтервалі. Ці зміни повинні бути виявлені і включені до скоректованого сезонного індексу.

В цьому випадку необхідно скорегувати сезонні індекси нагору і вниз, чи виявити тренди, зберігаючи при цьому середнє значення для чотирьох індексів рівним 1. Скореговані сезонні індекси Q1 = 1,00, Q2 = 1,37, Q3 = 0,99, Q4 = 0,64.

Крок 6. (1 спосіб) Цей останній крок полягає в складанні прогнозу для кожного з кварталів наступного, у даному випадку на 2004 р. Необхідно помножити найостанніше центроване ковзне середнє за квартал на його регульований сезонний індекс.

Крок 6. (2 спосіб) Розрахувати остаточні десезоналізовані значення за формулою:

,                                     (3.1)

 

Побудувати лінійний тренд для десезоналізованих значень і знайти . Використовуючи формулу (3.1) знайти , підставив до неї значення . Таким чином, отримаємо значення сезонної моделі і зробимо прогноз на рік уперед, враховуючи, що період розбитий на квартали.

 

Завдання 2. Експоненційне згладжування

Банк “Б” бажає отримати прогноз залишків депозитних коштів на період з 06 по 10 вересня 2004р. Вхідні дані подано в таблиці 3.4.

1.      Побудувати прогноз на основі лінійної моделі із застосуванням методу Брауна-Маєра та методу найменших квадратів.

2.      Побудувати прогноз на основі параболи другого порядку із застосуванням методу Брауна-Маєра та методу найменших квадратів.

3.      Побудувати графіки, на яких відобразити фактичні та прогнозні значення з урахуванням оптимістичного та песимістичного прогнозу.

4.      Письмово зробити висновки про результати прогнозування.


Таблиця 3.4 – Варіанти залишків коштів на депозитних рахунках

Дата

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

06.08.2004

10791,38

10691,38

10591,38

10491,38

10391,38

10291,38

10191,38

10091,38

9991,38

9891,38

9791,38

9691,38

09.08.2004

10652,78

10752,78

10852,78

10952,78

11052,78

11152,78

11252,78

11352,78

11452,78

11552,78

11652,78

11752,78

10.08.2004

12589,85

12539,85

12489,85

12439,85

12389,85

12339,85

12289,85

12239,85

12189,85

12139,85

12089,85

12039,85

11.08.2004

11617,38

11587,38

11557,38

11527,38

11497,38

11467,38

11437,38

11407,38

11377,38

11347,38

11317,38

11287,38

12.08.2004

12555,45

12495,45

12435,45

12375,45

12315,45

12255,45

12195,45

12135,45

12075,45

12015,45

11955,45

11895,45

13.08.2004

11617,38

11547,38

11477,38

11407,38

11337,38

11267,38

11197,38

11127,38

11057,38

10987,38

10917,38

10847,38

16.08.2004

9686,60

9786,60

9886,60

9986,60

10086,60

10186,60

10286,60

10386,60

10486,60

10586,60

10686,60

10786,60

17.08.2004

10631,08

10661,08

10691,08

10721,08

10751,08

10781,08

10811,08

10841,08

10871,08

10901,08

10931,08

10961,08

18.08.2004

8734,43

8934,43

9134,43

9334,43

9534,43

9734,43

9934,43

10134,43

10334,43

10534,43

10734,43

10934,43

19.08.2004

9820,65

9970,65

10120,65

10270,65

10420,65

10570,65

10720,65

10870,65

11020,65

11170,65

11320,65

11470,65

20.08.2004

10343,03

10323,03

10303,03

10283,03

10263,03

10243,03

10223,03

10203,03

10183,03

10163,03

10143,03

10123,03

23.08.2004

9703,05

9718,05

9733,05

9748,05

9763,05

9778,05

9793,05

9808,05

9823,05

9838,05

9853,05

9868,05

24.08.2004

10979,68

11004,68

11029,68

11054,68

11079,68

11104,68

11129,68

11154,68

11179,68

11204,68

11229,68

11254,68

25.08.2004

11642,05

11552,05

11462,05

11372,05

11282,05

11192,05

11102,05

11012,05

10922,05

10832,05

10742,05

10652,05

26.08.2004

11316,55

11236,55

11156,55

11076,55

10996,55

10916,55

10836,55

10756,55

10676,55

10596,55

10516,55

10436,55

27.08.2004

9383,15

9433,15

9483,15

9533,15

9583,15

9633,15

9683,15

9733,15

9783,15

9833,15

9883,15

9933,15

30.08.2004

9592,98

9692,98

9792,98

9892,98

9992,98

10092,98

10192,98

10292,98

10392,98

10492,98

10592,98

10692,98

31.08.2004

9227,93

9327,93

9427,93

9527,93

9627,93

9727,93

9827,93

9927,93

10027,93

10127,93

10227,93

10327,93

01.09.2004

8122,10

8292,10

8462,10

8632,10

8802,10

8972,10

9142,10

9312,10

9482,10

9652,10

9822,10

9992,10

02.09.2004

9513,10

9633,10

9753,10

9873,10

9993,10

10113,10

10233,10

10353,10

10473,10

10593,10

10713,10

10833,10

03.09.2004

11571,35

11551,35

11531,35

11511,35

11491,35

11471,35

11451,35

11431,35

11411,35

11391,35

11371,35

11351,35

 

 

 

 

 

Продовження таблиці 3.4 – Варіанти залишків коштів на депозитних рахунках

Дата

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

06.08.2004

9591,38

9491,38

9391,38

9291,38

9191,38

9091,38

8991,38

8891,38

8791,38

8691,38

8591,38

8491,38

09.08.2004

11852,78

11952,78

12052,78

12152,78

12252,78

12352,78

12452,78

12552,78

12652,78

12752,78

12852,78

12952,78

10.08.2004

11989,85

11939,85

11889,85

11839,85

11789,85

11739,85

11689,85

11639,85

11589,85

11539,85

11489,85

11439,85

11.08.2004

11257,38

11227,38

11197,38

11167,38

11137,38

11107,38

11077,38

11047,38

11017,38

10987,38

10957,38

10927,38

12.08.2004

11835,45

11775,45

11715,45

11655,45

11595,45

11535,45

11475,45

11415,45

11355,45

11295,45

11235,45

11175,45

13.08.2004

10777,38

10707,38

10637,38

10567,38

10497,38

10427,38

10357,38

10287,38

10217,38

10147,38

10077,38

10007,38

16.08.2004

10886,60

10986,60

11086,60

11186,60

11286,60

11386,60

11486,60

11586,60

11686,60

11786,60

11886,60

11986,60

17.08.2004

10991,08

11021,08

11051,08

11081,08

11111,08

11141,08

11171,08

11201,08

11231,08

11261,08

11291,08

11321,08

18.08.2004

11134,43

11334,43

11534,43

11734,43

11934,43

12134,43

12334,43

12534,43

12734,43

12934,43

13134,43

13334,43

19.08.2004

11620,65

11770,65

11920,65

12070,65

12220,65

12370,65

12520,65

12670,65

12820,65

12970,65

13120,65

13270,65

20.08.2004

10103,03

10083,03

10063,03

10043,03

10023,03

10003,03

9983,03

9963,03

9943,03

9923,03

9903,03

9883,03

23.08.2004

9883,05

9898,05

9913,05

9928,05

9943,05

9958,05

9973,05

9988,05

10003,05

10018,05

10033,05

10048,05

24.08.2004

11279,68

11304,68

11329,68

11354,68

11379,68

11404,68

11429,68

11454,68

11479,68

11504,68

11529,68

11554,68

25.08.2004

10562,05

10472,05

10382,05

10292,05

10202,05

10112,05

10022,05

9932,05

9842,05

9752,05

9662,05

9572,05

26.08.2004

10356,55

10276,55

10196,55

10116,55

10036,55

9956,55

9876,55

9796,55

9716,55

9636,55

9556,55

9476,55

27.08.2004

9983,15

10033,15

10083,15

10133,15

10183,15

10233,15

10283,15

10333,15

10383,15

10433,15

10483,15

10533,15

30.08.2004

10792,98

10892,98

10992,98

11092,98

11192,98

11292,98

11392,98

11492,98

11592,98

11692,98

11792,98

11892,98

31.08.2004

10427,93

10527,93

10627,93

10727,93

10827,93

10927,93

11027,93

11127,93

11227,93

11327,93

11427,93

11527,93

01.09.2004

10162,10

10332,10

10502,10

10672,10

10842,10

11012,10

11182,10

11352,10

11522,10

11692,10

11862,10

12032,10

02.09.2004

10953,10

11073,10

11193,10

11313,10

11433,10

11553,10

11673,10

11793,10

11913,10

12033,10

12153,10

12273,10

03.09.2004

11331,35

11311,35

11291,35

11271,35

11251,35

11231,35

11211,35

11191,35

11171,35

11151,35

11131,35

11111,35

 

 

 

 

 


Продовження таблиці 3.4 – Варіанти залишків коштів на депозитних рахунках

Дата

25

26

27

28

29

30

06.08.2004

8391,38

8291,38

8191,38

8091,38

19882,76

29174,14

09.08.2004

13052,78

13152,78

13252,78

13352,78

23005,56

35158,34

10.08.2004

11389,85

11339,85

11289,85

11239,85

24329,70

36169,55

11.08.2004

10897,38

10867,38

10837,38

10807,38

22724,76

33892,14

12.08.2004

11115,45

11055,45

10995,45

10935,45

24090,90

35746,35

13.08.2004

9937,38

9867,38

9797,38

9727,38

22044,76

32612,14

16.08.2004

12086,60

12186,60

12286,60

12386,60

21073,20

32259,80

17.08.2004

11351,08

11381,08

11411,08

11441,08

21772,16

32853,24

18.08.2004

13534,43

13734,43

13934,43

14134,43

20868,85

32603,28

19.08.2004

13420,65

13570,65

13720,65

13870,65

22191,30

34261,95

20.08.2004

9863,03

9843,03

9823,03

9803,03

20346,06

30389,09

23.08.2004

10063,05

10078,05

10093,05

10108,05

19661,10

29589,15

24.08.2004

11579,68

11604,68

11629,68

11654,68

22384,36

33739,04

25.08.2004

9482,05

9392,05

9302,05

9212,05

21754,10

32046,15

26.08.2004

9396,55

9316,55

9236,55

9156,55

21273,10

31389,65

27.08.2004

10583,15

10633,15

10683,15

10733,15

19616,30

29749,45

30.08.2004

11992,98

12092,98

12192,98

12292,98

20885,95

31978,93

31.08.2004

11627,93

11727,93

11827,93

11927,93

20155,85

30883,78

01.09.2004

12202,10

12372,10

12542,10

12712,10

19134,20

29806,30

02.09.2004

12393,10

12513,10

12633,10

12753,10

21066,20

32379,30

03.09.2004

11091,35

11071,35

11051,35

11031,35

22802,70

34074,05

 

Методичні вказівки до виконання завдання 2

Приклад: вхідні дані, для яких потрібно зробити прогноз на 17.01.04 та 18.01.04 подано в таблиці 3.5.

 

Таблиця 3.5 – Вхідні дані

Дата

Залишки, тис.грн.

10.01.04

1000

11.01.04

1200

12.01.04

1250

13.01.04

1150

14.01.04

1080

 

Тренд описується многочленом 1-го та 2-го порядків:

 

Yt = A0 + A1t                                                 (3.2)

 

Yt = A0 + A1t + A2t2                                                                (3.3)

Розглянемо знаходження параметрів A0, A1 рівняння (1).
Система нормальних рівнянь має вигляд:

 

n A0 + A1 St = S Y,

A0 S t + A1 S t2 = S Yt.

 

При S t = 0 ця система спрощується, а формули для знаходження параметрів A0 i A1  мають вигляд:

,

 

Для нашого прикладу (n = 5) одержуємо:

 

Таким чином, рівняння тренду першого порядку має вигляд:

Розглянемо знаходження параметрів A0, A1, A2 рівняння (3.3).

Система нормальних рівнянь:

 

n A0 + A1 St + A2 St2 = S Y,

A0 S t + A1 S t2 + A3 St3 = S Yt,

A0S t2 + A1 St3 + A2 St4 = S Yt2 .

 

Запишемо формули для знаходження коефіцієнтів A0 , A1, A2 за умови St = 0:

       

 

Для нашого прикладу (n = 5) одержуємо:

 

;         

 

Таким чином, рівняння тренду другого порядку має вигляд:

 

Yt = 1234,571 + 11t – 49,2857t2

 

Для виконання прогнозу було обрано метод експоненційного згладжування (метод Брауна-Маєра). Його суть в тому, що часовий ряд вирівнюється за допомогою зваженої ковзної середньої, ваги якої підпорядковані експоненційному закону. Зважена ковзна середня з експоненційно розподіленими вагами характеризує значення процесу в кінці досліджуваного проміжку, тобто є певною характеристикою рівнів ряду. Саме ця властивість і використовується для прогнозування динаміки.

 

Прогноз на основі лінійної моделі.

Нехай задано лінійну модель:

 

Yt = A0 + t

 

Згідно з теоремою Брауна-Маєра отримуємо систему рівнянь для знаходження невідомих параметрів A0 і A1 через експоненційні середні St1(Y) і St2(Y):

 

Звідси одержуємо:

 

 

Запишемо вирази для знаходження експоненційних середніх:

 

І початкових умов:

 

 

Прогноз знаходимо за формулою:

 

Ybt+l = Ab0 + Ab1l ,

 

де l – період прогнозу.

Похибка при лінійному прогнозуванні визначається за формулою:

 

 

де dYt - середньоквадратична похибка, обчислена для відхилень від лінійного тренду, яка розраховується:

 

 

де f - число ступенів вільності (f = n – 2);

Yi i Yib (i=1,n) - відповідно, фактичні і теоретичні значення членів ряду.

 

У методі експоненційного згладжування важливим моментом є вибір параметра згладжування a, оскільки при різних його значеннях прогнозовані значення рівнів також різні. На практиці для знаходження значень a користуються формулою:

Розрахунки:

Тренд ряду динаміки залишків депозитних коштів, знайдений на основі методу найменших квадратів, має вигляд:

 

 

Параметр згладжування a при n=5 становить:

 

a=2/(5+1)=0,33

 

Початкові умови визначаємо за формулою:

 

S01(Y) = 1136 - 11 * (1 – 0,33) / 0,33 = 1114

S02(Y) = 1136 - 11 * 2*(1 – 0,33) / 0,33 = 1092

 

Далі обчислюємо експоненційні середні першого і другого порядків за формулою:

St1(Y) = 0,33 * 1080 + 0,67 * 1114 = 1102,67

St2(Y) = 0,33 * 1102,67 + 0,67 * 1092 = 1095,56

 

Звідси оцінки параметрів лінійного тренду визначаються:

 

A0b = 2 * 1102,67 – 1095,56 = 1109,78

A1b = 0,5 * (1102,67-1095,56) = 3,56

 

Таким чином, прогноз здійснюється за моделлю:

 

Ytb = 1109,78 + 3,56 t

 

Середньоквадратична похибка:

 

dYt = (41702,22 / 3)1/2 = 117,90

 

Прогнозні значення в таблиці:

Дата

Прогноз

Похибка

17.01.04

1120,44

172,74

18.01.04

1124

216,55

 

Для виконання розрахунків рекомендується створити таблицю розрахунків:

Дата

Залишок

Період (t)

ti2

ti4

Yti*ti

Yti*ti2

Y1

Y2

(Yti-Y1)2

(Yti-Y2)2

 

Прогнозування на основі параболи другого порядку

Якщо ряд динаміки описується параболою другого порядку:

то основні показники експоненційного згладжування розраховуються за такими формулами:

1)   початкові умови:

 

2)   експоненційні середні:

 

3)   оцінки коефіцієнтів тренду:

 

4)   модель, за якою здійснюється прогноз:

 

5)   похибка прогнозу:

,

 

де dYt - середньоквадратична похибка, обчислена для відхилень від лінійного тренду, яка розраховується:

 

де f - число ступенів вільності (f = n – 2);

Yi i Yib (i=1,n) - відповідно, фактичні і теоретичні значення членів ряду.

 

Розрахунки:

Тренд ряду динаміки залишків на рахунках банку, знайдений на основі методу найменших квадратів, має вигляд:

Yt = 1234,571 + 11t –49,2857t2

Початкові умови визначаємо за формулою:

 

S01(Y) = 1234,57 - 2 * 11+ 0,062 * (-49,29) = 1209,53

S02(Y) = 1234,57 - 4 * 11+ 0,086 * (-49,29) = 1186,31

S03(Y) = 1234,57 - 6 * 11+ 0,111 * (-49,29) = 1163,09

 

Експоненційні середні:

 

St1(Y) = 0,33 * 1080 + 0,67 * 1209,53 = 1166,35

St2(Y) = 0,33 * 1166,35 + 0,67 * 1186,31 = 1179,66

St3(Y) = 0,33 * 1179,66 + 0,67 * 1163,09 = 1168,62

 

Оцінки коефіцієнтів тренду:

 

A0b = 3 * (1166,35 - 1179,66) + 1168,62 = 1129,69

A1b = -68,09

A2b = -6,09

 

Модель, за якою здійснюватиметься прогноз, матиме вигляд:

Ytb = 1129,69 - 68,09 t – ½ * 6,09 t2

 

Середньоквадратична похибка:

dYt = 179,89

Прогнозні значення в таблиці:

Дата

Прогноз

Похибка

17.01.04

897,03

207,73

18.01.04

807,64

216,21

Таким чином, отримано два набори прогнозних значень, які можна використати як песимістичний та оптимістичний прогнози.

Для виконання розрахунків рекомендується доповнити таблицю розрахунків (таблицю, де проводилися розрахунки лінійної моделі):

Y1 (прогн)

Y2 (прогн)

Yti-Y1пр

Yti-Y2пр

(Yti-Y1пр)2

(Yti-Y2пр)2

 

Контрольні питання:

1.    Що таке сезонний індекс? Як його визначити?

2.    Що таке десезоналізоване значення? Як воно визначається?

3.    Як визначається чотирьохперіодне ковзне середнє?

4.    Як визначається центроване ковзне середнє?

5.    Як відбувається корегування усереднених сезонних індексів?

6.    В чому сутність згладжування за допомогою методу Брауна-Маєра?

7.    Яка модель в завданні 2 дає оптимістичний прогноз, а яка песимістичний?

8.    Яка похибка є більшою: для лінійної чи параболічної моделі?

9.    Який прогноз Ви оберете і чому?