2.7.   Математична логіка: суть та основні поняття

 

Логіка (грец. λόγος – слово, смисл, думка, мова) – наука про форми, методи і закони інтелектуальної пізнавальної діяльності, правильного мислення, про способи міркування. Логіка як наука вивчає способи отримання правильних висновків з висновків, отриманих раніше.

Один з розділів логіки – математична логіка – є наукою про закони математичного мислення.

Математична логіка за суттю є формальною логікою, що використовує математичні методи. Формальна логіка вивчає акти мислення (поняття, судження, умовиводи, доведення) з точки зору їх форми, логічної структури, абстрагуючись від конкретного змісту. Творцем формальної логіки є Арістотель, а першу завершену систему математичної логіки на базі суворої логіко-математичної мови – алгебру логіки, – запропонував Дж. Буль (1815 – 1864). Логіко-математичні мови і теорія їх понять розвинуті в роботах Г. Фреге (1848-1925), який ввів поняття предиката і кванторів. Це надало можливість застосувати логіко-математичні мови до питань основ математики. Виклад цілих розділів математики на мові математичної логіки та аксіоматизація арифметики зроблені Дж. Пеано (1858 – 1932). Грандіозна спроба Г. Фреге та Б. Рассела (1872 – 1970) зведення всієї математики до логіки не досягла основної мети, але призвела до створення багатого логічного апарату, без якого оформлення математичної логіки як повноцінного розділу математики було б неможливе. 

До основних понять математичної логіки входить поняття висловлення. Під висловленням розуміють розповідне речення, про яке можна однозначно сказати, правильне (істинне) воно чи неправильне (хибне). Висловлення позначають великими літерами англійського алфавіту, наприклад А = «Київ – столиця України», В = «2 + 2 = 5».

Основною властивістю висловлення є його істинність, інші властивості вважаються несуттєвими. Значення істинності висловлення позначають 1 або true, якщо висловлення істинне, 0 або false, якщо висловлення хибне. Наприклад, висловлення А = «Київ – столиця України» є істинним, тобто значення його властивості істинність дорівнює true. Висловлення С = «3 > 5» є хибним, тобто значення його властивості істинність дорівнює false.

Наприклад:

А = {число 80 ділиться на 4},

В = {число 15 ділиться на 8},

С = {три менше п’яти},

D = {число 2 є єдиним коренем рівняння х₁ - 4 = 0}.

У висловленнях замість слів можна використовувати математичні знаки та символи. Наприклад, C = {3 < 5}.

Кожне висловлення є реченням, але не кожне речення є висловленням.

Закон виключення третього. Висловлення може бути або істинним, або хибним.

Закон суперечності. Ніяке висловлення не може бути одночасно істинним та хибним.

Отже, речення, про яке неможливо однозначно зробити висновок, вірне воно чи хибне, не є висловленням.

У висловленнях А та С твердження вірні, такі висловлення називають істинними. У висловленнях В та D твердження не вірні, такі висловлення називають хибними.

Речення:

1) число 0,000000001 дуже мале;

2) х > 2;

3) х + 12 = 18

не будуть висловленнями.

Перше з цих речень не є висловленням тому, що воно не має точного смислу і не можна сказати воно вірне чи не вірне. Хтось вважає це число дуже малим, а інший може з цим не погодитись.

Друге та третє речення містять літеру х. При одних х одержимо істинне висловлення, при інших значеннях х висловлення будуть хибними. До того часу, поки не буде вказано конкретне значення х, не можна сказати вірні чи не вірні ці речення.

He для кожного висловлення можна відразу зробити висновок про його істинність чи хибність. Закон виключення третього вказує лише принципову можливість встановити істинність або хибність висловлення. Для встановлення цього факту іноді потрібно багато часу, велика кількість обчислень.

Наприклад, речення

E = {(1233723 +1315876)2341 + (Ц135933 _ lg91183)4914 g простим}

буде висловленням тому, що принципово можливо відповісти на питання, істинне воно чи хибне.

Значення true та false називаються логічними константами.

Алгеброю логіки (булевою логікою, алгеброю висловлень) називають розділ математичної логіки, в якому розглядаються загальні властивості виразів, складених з висловлень з використанням логічних операцій.

У 1854 році вийшла основна праця Джорджа Буля «Дослідження законів думки, на яких засновані математичні теорії логіки й імовірності». Ця книжка нині зараховується до математичної класики. У ній досліджується система алгебри, яку сьогодні називають «алгеброю висловлень» або «булевою логікою». Булева логіка стала основним математичним інструментом для створення комп’ютерів.

В алгебрі логіки використовується поняття логічна змінна.

Логічна змінна – це змінна, яка може набувати лише значень true або false.

Завданням алгебри логіки є визначення істинності логічних виразів – виразів, що складаються з логічних констант, логічних змінних, логічних операцій, дужок.

Зрозуміло, що значенням логічного виразу може бути лише true або false.