2.    Приклад застосування методу неозначених множників Лагранжа

 

До шин 6 кВ розподільчого пункту цеху промислового підприємства приєднані три синхронних двигуна: СДН-14-59-6, СДН-15- 49-12 та СДН-16-64-12. Визначити оптимальну ступінь участі кожного двигуна в компенсації реактивної потужності =1,8 МВАр, якщо за умовами завантаження за активною потужністю допустимий коефіцієнт завантаження за реактивною потужністю першого двигуна =0,95, другого -  = 0,98, третього - = 1,18.

Втрати потужності, які виникають в синхронному двигуні, можуть бути визначені за виразом:

 

                                        (2.1)

 

де  − реактивна потужність, яка генерується синхронним двигуном;  − номінальна реактивна потужність двигуна; D₁ та D₂ − постійні для даного двигуна величини, які залежать від певних факторів.

Допустиме завантаження двигуна за реактивною потужністю визначається за допомогою коефіцієнта завантаження за реактивною потужністю:

 

 

За довідниковими даними двигуни мають наступні паспортні дані:

СДН-14-59-6: Р_н= 1,25 МВт, Q_H= 0,633 МВАр, D₁ =0,00474 МВт, D₂ = 0,00442 МВт.

СДН-15-49-12: Р_H=1,0МВт, Q_H= 0,511 МВАр, D₁ = 0,00661 МВт, D₂= 0,00588 МВт.

СДН-16-64-12:  Р_H=2,0, Q_H =1,02 МВАр, D₁= 0,00922 МВт, D₂= 0,00829 МВт.

Тому для першого двигуна:

Для другого:

Для третього:

З врахуванням наведених вихідних даних величина втрат потужності, яка виникає в першому двигуні, згідно виразу (4.1) складе:

В другому двигуні:

В третьому двигуні:

 

Задача полягає в тому, щоб знайти такі потужності Q_i, де i= 1,2,3, які б забезпечували мінімум сумарних втрат  при виконанні обмежень по величинам Q_i i= 1,2,3, а також по сумарній реактивній потужності , яку повинні компенсувати синхронні двигуни. В математичному плані задача зводиться до мінімізації цільової функції:

 

   (2.2)

при обмеженнях:

                                               (2.3)

                                      (2.4)

Спочатку на основі методу неозначених множників Лагранжа розв’яжемо задачу мінімізації цільової функції (2.2) при дотриманні лише обмеження (2.3).

Функція Лагранжа в даному випадку буде мати наступний вигляд:

 

          (2.5)

 

В результаті диференціювання (2.5) по змінним х₁, х₂, х₃ і  отримаємо систему рівнянь:

 

В результаті розв’язування системи рівнянь отримаємо: х₁=0,716, x₂=0,231, х₃= 0,853. Легко встановити, що х₁+х₂+х₃=1,8. Крім того, функція (2.2) є строго випуклою. Таким чином, отриманий розв’язок можна було б рахувати умовним глобальним мінімумом. Однак, цей розв’язок не задовольняє обмеження (2.4), оскільки х₁=0,716>0,6. Для корекції розв’язку з врахуванням обмежень (2.4) зробимо наступним чином.

Зафіксуємо значення змінної х₁ на рівні 0,6 МВАр, тобто приймемо х₁= 0,6 і розв’яжемо задачу знову, але вже пониженої розмірності. При цьому необхідно скорегувати і обмеження (2.3). Оскільки х₁= 0,6, замість обмеження (2.3) будемо мати: х₂+х₃ =1,8-0,6 =1,2.

В зв’язку з цим функція Лагранжа буде мати наступний вигляд:

 

 

В результаті диференціювання останнього виразу по х₂, х₃ та  отримаємо систему рівнянь:

 

 

В результаті розв’язування системи рівнянь отримаємо кінцевий результат задачі: ,  (раніше було встановлено, що ). При цьому значення цільової функції