Тема 7. Оптимізаційні задачі при недетермінованій вихідній інформації

 

В реальних оптимізаційних задачах часто доводиться шукати розв’язок в умовах невизначеності. Основною причиною невизначеності є недостача вихідної інформації. Стосовно області електроенергетики прикладом невизначеної (недетермінованої) інформації може служити перспективний ріст потужностей в електроенергетичній системі, що розвивається.

Для розв’язування оптимізаційних задач із недетермінованою інформацією методи математичного програмування не придатні. Тут використовується обчислювальний апарат теорії ігор.

Відповідно до цієї теорії оптимізаційна задача представляється грою двох гравців. Перший гравець – людина, що приймає рішення. У наведеному прикладі людина повинна прийняти рішення, спираючись на розташування в енергосистемі нових електростанцій, будівництво ліній електропередач й підстанцій. Людина – розумний  гравець. Його стратегія – максимальний виграш або мінімальний програш. Іншими словами – людина мінімізує витрати.

Другий гравець – енергосистема, а точніше перспективні потужності споживачів енергії. Як буде розвиватися енергосистема, які будуть потужності споживачів у перспективі – однозначно невідомо. Стратегія енергосистеми – випадкова. Вона не прагне до максимального виграшу. Отже, енергосистему не можна вважати розумним гравцем.

При розв’язуванні оптимізаційної задачі складається платіжна матриця, що являє собою таблицю витрат у грі двох гравців. Рядки матриці відповідають рішенням (ходам), які може прийняти перший гравець. Стовпці – ходам, які може зробити другий гравець. Процес складання платіжної матриці досить складний і в кожному конкретному випадку може бути різним. Цей етап розв’язку задачі пізніше розглянемо на конкретному прикладі.

Припустимо, що платіжна матриця складена (табл. 7.1).

Є набір ходів людини, які позначимо як . Є набір ходів енергосистеми . Якщо людина вибере хід х_i, а система відповість ходом у_j, тo витрати при такому розкладі складуть с_ij. Оптимальний розв’язок вибирається в результаті аналізу платіжної матриці.

Розглянемо основні стратегії вибору розв’язку, які пропонує теорія ігор.

·  Стратегія мінімуму середніх витрат. Відповідно до цієї стратегії для кожного ходу x_і людини визначаються середні витрати за всіма можливими ходами системи:

                                                (7.1)

Таблиця 7.1

 

Вибирається рішення, що відповідає мінімуму із сукупності i=1,2,…n середніх витрат:

                                            (7.2)

При цій стратегії вважається, що всі ходи системи мають однакову ймовірність, рівну 1/m. Для реальних задач таке припущення, як правило, не є істиною.

·  Мінімінна стратегія. Відповідно до цієї стратегії вважається, що на кожний хід x_і людини система відповість ходом y_j, який відповідає мінімальним витратам:

                                            (7.3)

Вибирається рішення, що відповідає мінімуму із сукупності i=1,2,…n мінімальних витрат:

                                      (7.4)

Ухвалення рішення за цією стратегією може призвести до великих прорахунків, оскільки тут враховується сама сприятлива ситуація. Систему не можна вважати розумним гравцем, однак вона не буде грати й у піддавки.

·  Мінімаксна  стратегія. Відповідно до цієї стратегії вважається, що на кожний хід x_і людини система відповість ходом y_j, який відповідає максимальним витратам:

                                   (7.5)

Вибирається рішення, що відповідає мінімуму із сукупності i=1,2,…n максимальних витрат:

                               (7.6)

У цій стратегії враховується сама несприятлива ситуація. Вважається, що система є розумним гравцем і прагне до максимального виграшу. Таке припущення не відповідає дійсності.

·  Стратегія Гурвіца. Ця стратегія враховує як найбільш сприятливу, так і найбільш несприятливу ситуації. Тут розв’язок вибирається за умовою:

                   (7.7)

де коефіцієнти k і (1-k) відіграють роль вагових коефіцієнтів, з якими враховуються мінімаксна й мінімінна стратегії. При k=1 маємо мінімаксну стратегію, а при k=0 маємо мінімінну стратегію.

Найбільші труднощі при застосуванні цієї стратегії представляє визначення величини вагових коефіцієнтів k і (1-k).

Теорія ігор відповіді на це питання не дає. Для кожної конкретної задачі вагові коефіцієнти визначаються індивідуально, на основі наявного досвіду.

Таким чином, для розв’язку оптимізаційної задачі при недетермінованій вихідній інформації теорія ігор висуває ряд стратегій. Оскільки формально всі стратегії рівноправні, остаточне рішення повинне вибиратися спираючись на:

‑ аналіз рішень, отриманих за кожною стратегією;

‑ досвід проектувальника;

‑ особливості конкретної задачі.