1. Плоскі криві. Криві другого порядку.

2. Просторові криві лінії.

3. Криві поверхні. Способи їх утворення.

4. Перетин кривої поверхні з площиною та прямою лінією.

1. Плоскі криві. Криві другого порядку.

Криву лінію можна розглядати як траєкторію точки, що рухається за певним законом, або як наслідок перетину кривих поверхонь. В інженерній графіці криві вивчають за їхніми проекціями. Існують плоскі та просторові криві. Плоскою називають криву, всі точки якої належать одній площині. Точки просторової кривої не належать одній площині. Плоскі криві. Січною називають пряму, яка перетинає плоску криву у двох або більше точках (рис.5.1). Якщо точку В наближати до точки А, то в граничному положенні вони збігатимуться в точці А і січна перетвориться в дотичну. Перпендикуляр до дотичної в точці дотику зветься нормаллю.

З технологією Flash пов'язано кілька форматів файлів. Найбільш відомі три з них:

• де s – довжина дуги, мм;
• α – кут між дотичними до заданої кривої лінії в точках А та В, град;
• R – радіус кривини, мм.

Кривина К є величиною оберненою до радіуса кола R кривини, проведеного через три точки, дві з яких нескінченно близькі до третьої, що розміщена між ними. Множина нормалей до плоскої кривої утворює жмуток, обвідною якого є крива, що має назву еволюти (рис.5.2,а). Крива відносно своєї еволюти називається евольвентою. Форму евольвенти кола мають бічні поверхні зубців деяких зубчатих коліс і шестерень (рис.5.2,б).

Криві другого порядку. Кривими другого порядку є еліпс, гіпербола, парабола та коло, які найбільш поширені в різних галузях техніки.

2. Просторові криві лінії

Просторові криві – це лінії, кожна точка яких лежить у просторі. На рис.5.3 показані дві поширені просторові криві: циліндрична спіраль, або геліса (рис.5.3,а), та конічна спіраль (рис.5.3,б). Просторові криві задаються двома проекціями.

Геліса утворюється внаслідок рівномірного руху точки по твірній, яка в свою чергу рівномірно обертається навколо осі. Фронтальна проекція циліндричної спіралі є синусоїдою. Для побудови геліси необхідно поділити коло основи циліндра на рівну кількість частин, наприклад 12, та провести через утворені точки твірні. На стільки ж частин поділимо циліндр по висоті. Приймемо, що перша точка 1 лежить на нижньому колі (основі). Наступну точку 2 отримаємо, повернувши твірну на кут 360º/12 та піднявшись на висоту, яка рівна n/12. Всі інші точки знаходяться аналогічним чином. Геліса є найкоротшою лінією на циліндрі між двома його точками. Конічна спіраль утворюється внаслідок рівномірного руху точки вздовж прямої, яка рівномірно обертається навколо осі. Побудова конічної спіраль подібна до побудови геліси.

3. Криві поверхні. Способи їх утворення

Криві поверхні широко застосовуються в різних галузях машинобудування, будівництва тощо. Поверхня вважається заданою, якщо відносно будь-якої точки простору можна вирішити читання щодо її належності заданій поверхні. Залежно від способу утворення одну й ту ж поверхню можна віднести до таких класів: кінематичної – утвореної рухом твірної по напрямлених або каркасної – наближено представленої лінійним чи точковим каркасом. Найбільше поширення мають поверхні, утворені за кінематичним законом з твірними постійної форми (лінійчаті й не лінійчаті). Лінійчатою називають поверхню, яка може бути утворена рухом прямої лінії за певним законом. До них належать: циліндричні, конічні, гвинтові поверхні тощо. Якщо поверхня розгортається, то вона є розгортною (циліндр, конус) (рис.5.4), а якщо ні – нерозгортною (гіперболіний параболоїд, однопорожнинний гіперболоїд, тощо) (рис.5.5). Гіперболічний параболоїд – це поверхня, що має 2-й алгебраїчний порядок визначником, якої є дві мимобіжні прямі m і n та горизонтальна площина паралелізму Р. Однопорожнинний гіперболоїд утворюється при русі твірної прямої по трьох мимобіжних напрямних – а, в, с. Для полегшення побудови одну з прямих (а) взято у вертикальному положенні, це дає змогу безпосередньо проводити прямі твірні. Побудову прямих виконано спочатку на горизонтальній проекції. Проведено серію твірних, і визначено точки перетину цих твірних з напрямними в та с. За відповідністю знаходяться фронтальні проекції твірних.

В різних галузях техніки широко застосовуються поверхні з постійною криволінійною твірною, з них можна виділити поверхні обертання. Точки твірної описують навколо осі кола, які називаються паралелями, а криві, одержані в результаті перетину поверхні обертання площинами, що проходять через вісь, називають меридіанами. Паралелі та меридіани утворюють на поверхні обертання ортогональну сітку. Паралелі та меридіани утворюють на поверхні обертання ортогональну сітку. Якщо вісь обертання проходить через центр твірного кола, при його обертанні матимемо еліпсоїд, параболоїд обертання (рис.5.6), тощо.

4. Перетин кривої поверхні з площиною та прямою лінією.

При перетині кривої поверхні площиною в перерізі утворюється крива лінія. Всі поверхні другого порядку перетинаються площиною по кривих другого порядку. Для того, щоб побудувати лінію перерізу в загальному випадку, зазвичай користуються допоміжними площинами. Їх задають таким чином, щоб проекції лінії перерізу, були графічно простими лініями (колами, прямими тощо), які відразу можна відобразити на полях проекцій. На перетині ліній перерізу з прямими, по яких допоміжні площини будуть розтинати задану в задачі січну площину будуть утворюватись точки лінії перерізу. Починати побудову перерізу слід з визначення точок видимості, в яких лінія перерізу дотикається до контурів поверхні. Це насамперед найвища й найнижча, крайня ліва та права точки лінії перерізу тощо. Побудуємо лінію перерізу еліпсоїда обертання фронтально-проеціюючою площиною (рис.5.7).

Наприклад знайдемо точки перетину прямої а зі сферою (рис.5.8). Побудову почнемо з побудови проекцій найвищої та найнижчої точок. Фронтальні проекції К2 і Р2 цих точок знаходяться на фронтальному контурові еліпсоїда, а горизонтальні проекції К1 і Р1 – на вічевій лінії. Для знаходження проміжних точок лінії перерізу скористаємося допоміжними січними площинами А; ∆; В, які перетинають еліпсоїд по колах, а площину Σ – по фронтально-проеціюючих прямих. Точки перетину кіл з відповідними прямими належать одночасно еліпсоїду й площині Σ, тобто лінії їх перетину. У загальному випадку, січна площина перетинає конус по еліпсу. В частковому випадку в результаті, перетину конуса обертання площиною, перпендикулярною до осі, отримаємо коло. Якщо січна площина паралельна твірній конуса, матимемо параболу, а осі – гіперболу Для побудови перетину прямої лінії .та поверхні зазвичай користуються допоміжною січною площиною, що проходить через задану пряму, або ж допоміжним проеціюванням. Зазвичай за січні площини вибирають площини рівня.

Для визначення точок перетину використана заміна площини проекцій, нова площина П4 проведена паралельно заданій прямій а. Через пряму в свою чергу проведено допоміжну горизонтально-проеціюючу площину, яка перетне сферу по колу радіуса R. На полі проекцій П4 побудовано це коло, яке в перетині з проекцією прямої дасть проекції шуканих точок 14 і 24, повертаючи їх у зворотньому напрямку, знаходимо спочатку горизонтальні, а потім фронтальні проекції шуканих точок 1 та 2. Для знаходження точок перетину прямої l загального положення з конусом скористаємося центральним допоміжним проеціюванням (рис.5.9). Центром проеціювання в цьому випадку візьмемо вершину конуса S, а площиною проекцій площину П1. За таких умов бічна поверхня конуса спроеціюється колом, а відрізок прямої 1-2 – відрізком 1'-2'.

Перетин горизонтальної проекції 11'-21' відрізка зі спроеційованою основою конуса визначить допоміжні проекції А1'В1' шуканих точок, а дійсні точки перетину прямої l з конусом знаходяться на перетині твірних А'S' і В'S' зі заданою прямою. Це будуть точки А і В.

Розглянемо перетин прямої с з поверхнею циліндра (рис.5.10). Знайдемо точки перетину. Для цього використаємо паралельне допоміжне проеціювання на горизонтальну площину, паралельно твірним циліндра, при цьому бічна поверхня циліндра спроеціюється колом основи, а відрізок 1-2 прямої с відрізком 1'1-2'1. Перетин горизонтальної проекції прямої 1'1-2'1 з колом основи й дасть допоміжні точки перетину А'1 В'1. Піднявши які по прямим паралельним твірним циліндра на горизонтальну проекцію 1-2, отримаємо дійсні проекції А1 та В1. За лініями зв’зку знайдемо фронтальні проекції А2 та В2.