1. Багатогранники. Зображення багатогранників.

2. Перетин багатогранників прямими та площинами.

3. Взаємний перетин багатогранних поверхонь.

1. Багатогранники. Зображення багатогранників

Пірамідою називають багатогранник, у якого всі грані, крім однієї, мають спільну вершину, що є вершиною піраміди ( рис.4.1). Призма – це багатогранник, обмежений призматичною поверхнею та двома паралельними площинами, в яких лежать основи призми, грані призматичної поверхні називаються гранями призми (рис.4.2). Якщо ребра призми перпендикулярні до її основи, призму називають прямою, коли ця умова не дотримується – похилою. Призматоїдом називають багатогранник, всі бічні грані якого – трикутники або трапеції. Основи призматоїда найчастіше паралельні одна одній та є довільними багатокутниками. На рис.4.2,б показано призматоїд, нижньою та верхньою основою якого є квадрати.

2. Перетин багатогранників прямими та площинами

На рис.4.3 відрізок 1-2 прямої l загального положення перетинає тригранну піраміду SABC. Для визначення точок зустрічі прямої з гранями піраміди застосовано метод центрального допоміжного проеціювання. Опустивши з вершини S промені через точки 1 і 2, спроеціюємо заданий відрізок прямої на площину основи піраміди. Отримаємо проекції 1'22'2 та 1'12'1 на полях П2 та П1 відповідно. На перетині горизонтальних проекцій 1'12'1 відрізка та A1B1C1 основи піраміди отримаємо дві проекції 3'1 та 4'1 точок перетину. Зворотнім проекціюванням цих проекцій точок у вершину піраміди визначаються шукані проекції 31 та 41 точок зустрічі прямої l з гранями A1B1S1 та A1С1S1 піраміди.

На горизонтальному полі для їх проведення досить визначити проекції D1, N1, G1 та K1. При цьому D1N1//G1M1//K1L1. На перетині ребер СS та ВH з відрізками G1M1 та K1L1 отримаємо точки 2 та 3. З’єднавши всі три точки, отримаємо фігуру 1-2-3 перетину. Якщо його сторони належать видимим граням, то вони будуть видимі на відповідних полях. Так відрізки 1-2 та 2-3 будуть видимими на площині П2, а – 1-3 на полі П1. Для побудови лінії перетину (рис.4.4) похилої тригранної призми ABHSFC з площиною Ω, заданою слідами необхідно знайти точки зустрічі кожного ребра призми зі заданою площиною. Для цього через кожне ребро проведені допоміжні фронтально-проеціюючі площини Λ, Г та Ф. Площини Λ та Ω перетнуться по відрізку DN, який має спільну точку 1 з ребром призми АS. Це і буде точка перетину ребра з площиною Ω. Оскільки площини Λ, Г та Ф паралельні між собою, то їх лінії перетину з площиною Ω теж будуть паралельні.

3. Взаємний перетин багатогранних поверхонь При взаємному перетині багатогранників можливі два випадки: врізання та наскрізне проникнення. В загальному випадку лінії перетину двох багатогранників визначаються шляхом знаходження точок перетину кожного з ребер призм з гранями їх гранями. На рис.4.5 взаємно перетинаються дві призми: пряма і похила. З розгляду горизонтальних проекцій призм видно, що має місце наскрізне проникнення. Оскільки приз-ма АВС пряма, то лінії взаємного перетину лежатимуть у горизонтально-проеціюючих гранях, тобто за горизонтальними проекціями ліній перетину потрібно побудувати фронтальні. Спочатку визначимо перетин ребер призми MM'K'KNN' з гранями багатогранника AA'B'BCC'. Так ребра MM', KK' та NN' перетинаються з гранню AA'B'B в точках 1, 2 та 3 утворюючи трикутник. Фронтальні проекції 12, 22 та 32 якого визначаються за допомогою вертикальних ліній зв’язку проведених з горизонтальних проекцій 11, 21 та 31. Грань KK'N'N перетинається з гранню BB'C'C по відрізку 4-5, а ребро MM' – з граню АА'C'C в точці 9. Розглянемо перетин ребер AA', BB' та CC' з гранями призми MM'K'KNN'. З горизонтальних проекцій багатогранників видно, що перетинається тільки ребро CC' з гранями MM'NN' та MM'K'K. Для знаходження точок 6 та 7 продовжимо грань B'BCC' до перетину в точці 8 з ребром MM'. На перетині відрізків 8-4 та 8-5 з ребром CC' отримаємо шукані точки. З’єднаємо послідовно точки 4, 5, 6, 9, 7 та 4 отримаємо фігуру перетину призми MM'K'KNN' з гранями B'BCC' та AA'CC'. При визначені видимості береться до уваги те, що видимою буде лінія, яка утворилася в результаті перетину двох видимих граней.