Дисципліна: Інженерна та комп'ютерна графіка

Тема: Методи проеціювання. Прямокутні проекції точки

План

Вступ Історія розвитку людського суспільства нерозривно пов'язана з розвитком мистецтва графічного зображення, яке розвивалось й удосконалювалось одночасно з розвитком живопису, архітектури, мореплавства, кораблебудування і т.п. До перших відомих робіт із геометрії відносять роботи Піфагора (530-510 р. до н.е.), Демокріта (460-370 р. до н.е.) і Платона (428-348 р. до н.е.). Спираючись на праці своїх попередників, Евклід (365-300 р. до н.е.) у своїх 13 книгах «Початки» створив завершену геометричну систему, яка використовується і в теперішній час. Французький учений Г.Монж (1746-1818рр.) уперше систематизував і узагальнив практичні й теоретичні пошуки в галузі зображень просторових форм на площині і дав перший виклад методу виконання креслення у своїй роботі «Нарисна геометрія», яка була видана в 1798 р. Дані археологічних розкопок, старовинні рукописні книги (їх ілюстрації) та історичні пам'ятники свідчать про самостійність розвитку мистецтва графічних зображень у Київській Русі. Правила будівництва були викладені в "Будівельному статуті" та в Руській Правді (1020 р.) Ярослава Мудрого. Там же були наведені зображення, побудовані за проекційним принципом. Професор І.І.Котов (1909-1976рр.) першим застосував апарат нарисної геометрії до розв'язування прикладних задач у різних галузях техніки. Він розробив також основні принципи застосування ЕОМ у курсі нарисної геометрії, заснувавши московський семінар "Кібернетика графіки".

1. Предмет і задачі інженерної графіки Навчальна дисципліна “Інженерна графіка” включає в себе такі два розділи: “Нарисна геометрія” та “Технічне креслення”. Нарисна геометрія – це наукова дисципліна, яка вивчає способи побудови точного зображення просторових форм на площині, розглядає графічні методи розв'язання геометричних задач і розкриває геометричні властивості просторових форм. Такі зображення прийнято називати кресленням. За допомогою креслення можна передати свої думки, ідеї та уявлення як про існуючі просторові форми, так і про нові, які виникають у процесі творчої праці інженера. Основні правила та методи побудови зображень і вивчає нарисна геометрія. Предметом нарисної геометрії є розробка методів побудови та читання креслень, способів розв'язування за допомогою креслень геометричних задач, методів геометричного моделювання, тобто створення проекцій предмета, який відповідав би наперед заданим геометричним та іншим вимогам, а також побудова зображень предметів та об'єктів деякої конкретної галузі інженерної діяльності.

Тому метою предмету нарисної геометрії є:

Комп’ютеризація всіх форм діяльності, зокрема широке застосування ПК та графопобудовувачів, показала принципову можливість виконання креслень і графічних побудов за допомогою електронних апаратів.

2. Методи проеціювання та основні їх властивості

В основу методу нарисної геометрії покладений метод проекцій, який дозволяє отримувати відображення просторових фігур на площині або поверхні. Згідно з цим методом будь-якій точці тривимірного простору ставиться у відповідність точка двовимірного простору (площини). Для процесу проеціювання характерні наступні атрибути S – центр проеціювання, Пi – площина (поле) проекцій, об’єкт проеціювання та його проекція на поле Пі. Метод проекцій включає два випадки: центральне та паралельне проеціювання. При центральному проеціюванні проеціюючі промені виходять з однієї точки – центра проеціювання S, який знаходиться на визначеній (заданій) відстані від площини проекцій Πi. Для побудови центральної проекції АiВi відрізка АВ необхідно побудувати проекції його крайніх точок та з'єднати їх прямою лінією (рис.1.1). При центральному проеціюванні кривої лінії проеціюючі промені утворюють в просторі конічну поверхню, тому цей вид проеціювання має й іншу назву – конічне проеціювання.

Однією з особливостей центрального проеціювання є його достатня наочність, оскільки воно відповідає природному зоровому сприйняттю людиною навколишніх предметів, і тому найбільш широке застосування цей вид проеціювання одержав при виконанні перспективних зображень в архітектурі. Основний його недолік – складність у визначенні дійсних розмірів предмета за його зображенням. Паралельне проеціювання можна розглядати як частковий випадок центрального, коли центр проеціювання S знаходиться в нескінченності. При цьому проеціюючі промені паралельні між собою (рис.1.2), і тому інша назва цього виду проеціювання – циліндричне проеціювання. При паралельному проеціюванні проеціюючі промені знаходяться під деяким кутом β до площини проекцій Пі. Залежно від значення кута β паралельне проеціювання може бути косокутнім (β ≠ 90°) або прямокутнім (β = 90°).

Розглянуті методи проеціювання на одну площину проекцій дають можливість розв'язувати пряму задачу: маючи предмет, знайти його проекцію. Але вони не дозволяють розв'язати обернену задачу: маючи проекцію, визначити форму та розміри предмета. Наприклад, маючи проекцію Ai (рис.1.1), не можна визначити положення самої точки A в просторі, оскільки невідома її відстань від площини проекцій Πi. Наявність лише однієї проекції створює невизначеність зображення. Такі зображення повинні містити додаткові дані, щоб за ними можна було визначити оригінал. Прямокутні проекції знайшли найбільш широке застосування при виконанні технічних креслень, тому що в цьому випадку забезпечується простота графічних побудов і висока точність вимірів. Основний недолік цього методу – недостатня наочність зображення: для того щоб “побачити” (уявити) предмет, необхідно подумки поєднати його наявні “плоскі” зображення. Метод прямокутних проекцій ґрунтується на тому, що предмет за допомогою ортогонального (прямокутного) проеціювання одночасно зображають на декількох взаємно-перпендикулярних площинах проекцій, приєднаних до просторової прямокутної системи координат. Розглянемо дві взаємно-перпенди-кулярні площини, які ділять простір на 4 частини, що називаються чвертями або квадрантами (рис.1.3). Така модель називається двохплощинною. Відповідно площина П1 називається горизонтальною площиною проекцій, а П2 – фронтальною площиною проекцій.

При двох напрямах проеціювання, що прийняті в системі прямокутних проекцій, довільна точка А зображується парою точок (А1 – горизонтальна проекція, А2 – фронтальна проекція). Неважко помітити, що точка простору віддалена від площин проекцій П1 та П2 на відстань від осі відповідно до її фронтальної та горизонтальної проекцій. Креслення, що містить проекції на двох полях проекцій, позиційно повне та метрично визначене. Однак, завдяки тривимірності просторової фігури, а також у зв’язку з тим, що по двох зображеннях не завжди просто визначити конструкцію складного об’єкта, його комплексне креслення стає зрозумілішим, коли крім двох основних проекцій дано ще проекцію на третю площину. В ролі третьої площини (поля проекцій) найчастіше вибирають профільну площину проекцій П3, перпендикулярну до П1 та П2 (рис.1.4), тому третя проекція точки А3 називається профільною. Така модель називається трьохплощинною.

3. Епюр Монжа

Площини (поля) проекцій П1, П2 та П3, перетинаючись по трьох лініях, задають просторову декартову систему координат (рис.1.4). Точка О є початком координат, вісь х - віссю абсцис, вісь у - віссю ординат та вісь z - віссю аплікат. Неважко помітити, що проекції А1 та А2 лежать на одній вертикальній лінії, а проекції А2 та А3 – на одній горизонтальній лінії, які називаються лініями зв’язку. Розгорнемо просторову декартову систему координат таким чином, щоб площини П1 та П2 сумістилися з площиною П2 (рис.1.5). Побудуємо бісектрису k кута у(-z), О, у(-x) та зобразимо проекції точки А в площинах П1, П2 і П3. Ламана лінія зв’язку, яка з’єднує проекції А1 та А3 складається з двох відрізків (горизонтального та вертикального) з вершиною на бісектрисі кута у(-z), О, у(-x). Частину цієї ламаної інколи замінюють дугою кола. Таким чином, між горизонтальною та профільною проекціями існує ламана горизонтально-вертикальна лінія зв’язку. Бісектрису k, що є множиною вершин цих ламаних ліній, називають постійною прямою комплексного креслення. При побудові комплексного креслення або епюра Монжа з трьох прямокутних проекцій площину П2 приймають нерухомою, а площини П1 та П3 суміщають з нею обертанням навколо осей x та z.

Площини проекцій П1, П2 та П3 ділять тривимірний простір на вісім частин, які називаються октантами. У тих випадках, коли точка задається координатами, можна будувати комплексне креслення, керуючись величиною та знаками координат, навіть не визначаючи октанту, в якому задана точка. Знаки координат, які відповідають тому чи іншому октанту, наведені в таблиці 1.1.

На рис.1.6 показано розташування точок в різних чвертях простору.

Бісекторна площина – це площина, яка ділить чверті навпіл. Площина, яка проходить через 1 і 3 чверті називається 1 бісекторною площиною та позначається буквою К, площина, яка проходить через 2 і 4 чверті – 2 бісекторною площиною і позначається буквою U.