Тема 7. Пряма на площині. Різні види прямої. Взаємне розташування прямих.

Приклад 1. Скласти рівняння прямої що прохлдить через точку і відтинає на осі оординат відрізок .

Розв’язання. Запишемо рівняння зазначеної прямої у вигляді , звідки знайдемо . Шукане рівняння прямої запишемо у вигляді або .

Приклад 20. Визначити площу трикутника утаореного прямою та осями координат.

Розв’язаання. Шукана площина , де – відкізки, що відтинаються прямою на осях координат. Переписавши дане рівняння у вигляді , знаходимо, що , .

Звідси (кв. од.)

Приклад 2. Дано вершини трикутника ,, . Скласти рівняння бісектриси його внутрішнього кута при вершині .

Розв'язання.

Відомо, що бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на частини, пропорційні довжинам прилеглих сторін. Тоді і точка перетину бісектриси з стороною ділить відрізок у відношенні .

Знайдемо відстань між точками і і точками і :

Знайдемо координати точки :

.

і запишемо рівняння бісектриси:

або .

Приклад 3. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку паралельно до прямої .

Розв'язання. Перетворимо рівняння даної прямої в рівняння з кутовим коефіцієнтом . Оскільки шукана пряма паралельна до даної прямої, отже . Шукана пряма проходить через точку , значить її рівняння:

або .

Приклад 4. Звести до нормального вигляду рівняння прямих:

1) , 2) .

Розв'язання. В першому рівнянні , отже, нормуючий множник слід взяти з знаком плюс .

Помноживши всі члени рівняння на цей множник, одержимо рівняння прямої нормального вигляду:

.

В другому рівнянні , отже нормуючий множник можна взяти з довільним знаком, наприклад із знаком плюс:

.

Помноживши всі члени даного рівняння на цей множник, одержимо рівняння нормального вигляду:

Приклад 5. Знайти відстань між паралельними прямими та .

Розв'язання. Візьмемо на першій прямій довільну точку, наприклад точку і за формулою відстані від точки до прямої знайдемо

.

Ця відстань і є відстанню між даними паралельними прямими.

Приклад 6. Пряма перегинає вісь в деякій точці і проходить через точки і . Знайти координати точки .

Розв'язання. Точки лежать на одній прямій, отже, повинна виконуватись умова

або .

Звідси . Точка шукана.

Приклад 7. Дано координати вершин трикутника ; ; . Знайти: 1) довжину сторони ; 2) рівняння сторін і і їх кутові коефіцієнти; 3) кут в радіанах з точністю до двох знаків; 4) рівняння висоти і її довжину; 5) рівняння медіани і координати точки перетину цієї медіани з висотою ); 6) координати точки розміщеної симетрично точці відносно прямої ; 7) рівняння прямої, що проходить через т. паралельно стороні .

Розв'язання.

1) Відстань між точками та визначається за формулою

(1)

В нашому випадку

2) Рівняння прямої, що проходить через точки та має вигляд:

(2).

Підставляючи в (2) координати точок і , одержимо рівняння

; ;

Розв'яжемо останнє рівняння відносно , одержимо

звідси .

Підставивши в (2) координати точок і , одержимо рівняння прямої :

; ;

або

, звідки .

3) Відомо, що тангенс куга між двома прямими, кутові коефіцієнти яких відповідно дорівнюють і обчислюється за формулою:

;

, або рад.

4) Рівняння прямої, що проходить через дану точку в заданому напрямку має вигляд

, коефіцієнт . Підставляючи в (4)

координати точки і знайдений кутовий коефіцієнт висоти, одержимо

Щоб знайти довжину висоти, визначимо спочатку координати точки - точки перетину прямих і . Розв'яжемо систему

знайдемо ; , тобто . За формулою (1) знайдемо довжину висоти .

.

5) Щоб знайти рівняння медіани, визначимо спочатку координати точки , яка є серединою сторони , використовуючи формули поділу відрізка на дві рівні частини: (5)
значить .

Підставивши в (2) координати точок і , знайдемо рівняння медіани

.

Щоб знайти координати точок перетину висоти і медіани розв’яжемо систему

6) Оскільки пряма , то шукана точка , розміщена симетрично точці відносно прямої лежить на прямій . Крім того, точка є серединою відрізка . Використовуючи формули (5), знайдемо координати точки :; .

7) Оскільки шуана площина паралельна стороні , то її кутовий коефіцієнт дорівнює кутовому коефіцієнту прямої . Підставивши, в (4) координати знайденої точки і кутовий коефіцієнт , одержимо