Тема 4. Вектори. Лінійні операції над векторами.

Приклад1. Знайти координати вектора , якщо , , .

Розв’язання. .

Приклад 12. Дано вектори в деякому базисі. Показати, що вектори утворюють базис і знайти координати вектора в цьому базисі.

Розв’язання. Розглянемо лінійну комбінацію векторів : , де – коефіцієнти цієї комбінації. Якщо тільки при , то вектори є лінійно незалежними, тобто утворюють базис. Знайдемо координати вектора :

, .

Тому

. тоді і тільки тоді, коли

(1)

Система має тривіальний розв’язок , якщо її головний детермінант .

.

Цим доведено, що утворюють базис. Для розкладу вектора за цим базисом досить в системі (1) справа поставити координати вектора , тобто розв’язати систему рівнянь:

Розв’яжемо цю систему методом Крамера:

, , .

Отже, .

Приклад 13. Дано точки та . Знайти:

а) координати, довжину, напрямні косинуси та орт вектора ;

б) координати точки , якщо ;

в) координати точки , якщо .

Розв’язання.

а) ;

– довжина вектора;

, ,

– напрямні косинуси;

– орт вектора .

б) Координати точки :

;

;

.

Отже, .

в) Нехай , тоді ,

. З рівності векторів випливає рівність відповідних координат:

Отже, .