Тема 2. Матриці. Дії над матрицями. Обернена матриця.

Приклад 1. Знайти:

1) добуток матриць і ;

2) значення многочлена ;

3) матрицю , обернену до матриці , перевірити правильність обертання.

, , .

Розвʼязання.

1)

.

2) .

;

;

;

.

3) ;

;

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Отже, обернена матриця буде

.

Перевірка:

.

Приклад 2. Знайти ранг матриці .

Розвʼязання. Зводимо матрицю до ступінчастого виду: помножимо перший рядок на 2 і додамо до другого рядка; одночасно помножимо перший рядок на -1 і додамо до третього рядка. Тоді

~.

Додамо другий рядок одержаної матриці до третього рядка. Тоді

~~.

Отже, .

Приклад 3. Знайти власні числа та власні вектори матриці

Розв’язання:

Розв’язуємо характеристичне рівняння:

,

,

,.

Знаходимо власні вектори, що відповідають власним числам:

:

~

Отже, .

Отже, .