Лекція 12: Криві другого порядку.

 

 

Означення. Лінією другого порядку на площині називають множину точок площини, прямокутні координати  яких задовольняють алгебраїчне рівняння другого порядку:

,

де коефіцієнти  одночасно не дорівнюють нулю.

 

§1. Коло.

Означення. Коло – це геометричне місце точок, рівновіддалених від заданої точки , що є центром кола. Віддаль від довільної точки кола до центра – радіус кола :

.                         (12.1)

Канонічним рівнянням кола в ПДСК є рівняння виду:

.                                         (12.2)

Параметричне рівняння кола: .

 

§2. Еліпс.

Канонічним рівнянням еліпса в ПДСК є рівняння виду:

, .                                      (12.3)

Якщо , то рівняння еліпса переходить у рівняння кола з .

Еліпс можна задати параметричним рівнянням:

 

Означення. Еліпсом називається геометричне місце точок, для яких сума віддалей до двох фіксованих точок  та , що називають фокусами, є величина стала.

Якщо точка  – біжуча точка еліпса, тоді

.

,  – фокуси,  – фокальна віддаль.

Величина , тоді  для еліпса .

 – це велика піввісь еліпса;  – це мала піввісь еліпса.

Точки , , ,  – вершини еліпса, тобто еліпс міститься в прямокутнику ,  і має осі симетрії – осі координат  та , точка  – центр симетрії еліпса.

,  – фокальні радіуси.

 – ексцентриситет еліпса. Для еліпса , у випадку кола , , .

 – директриси еліпса.

Віддалі від точки  еліпса до лівої та правої директриси:

;      .

Тому для всіх точок еліпса справедлива наступна властивість:

.

Зауваження: якщо , фокуси знаходяться на осі .

Якщо центр симетрії еліпса міститься в точці , то рівняння еліпса має вигляд:

.

 

§3. Гіпербола.

Канонічним рівнянням гіперболи в ПДСК є рівняння виду:

, .                         (12.4)

Означення. Гіперболою називається геометричне місце точок, для яких модуль різниці віддалей до двох фіксованих точок  та , що називають фокусами, є величина стала.

Якщо точка  – біжуча точка гіперболи, тоді

.

,  – фокуси,  – фокальна віддаль.

Величина , тоді  для еліпса .

 – це дійсна піввісь гіперболи;  – це уявна піввісь гіперболи.

Точки ,  – вершини гіперболи; гіпербола розташована за межами смуги  і має осі симетрії – осі координат  та , точка  – центр симетрії гіперболи.

Фокальні радіуси гіперболи для двох віток:

 – для правої;   – для лівої.

 – ексцентриситет. Для гіперболи .

 – директриси гіперболи.

Гіпербола має асимптоти: . Асимптотою функції називається пряма лінія, до якої наближається графік функції але її не перетинає.

Для гіперболи справедливе співвідношення:

.

Зауваження: рівняння  задає гіперболу дійсна піввісь якої , уявна піввісь – , фокуси знаходяться на осі .

 

§4. Парабола.

Канонічним рівнянням параболи в ПДСК є рівняння виду:

           .                                  (12.5)

 – параметр параболи.

Означення. Параболою називається геометричне місце точок, для яких віддаль до точки  (фокуса) дорівнює віддалі до прямої (директриси).

Якщо точка  – біжуча точка параболи, тоді .

Точка  – вершина параболи, вісь  – вісь симетрії, число  – фокусна віддаль.

 – фокус;  – директриса.

Ексцентриситет ,  – фокальний радіус.

Зауваження: рівняння ,  та  також задають параболу.

Якщо вершина параболи співпадає з точкою , то рівняння параболи буде мати вигляд:

, або .

 

Питання для самоконтролю:

1. Що називають кривою другого порядку?

2. Що називають колом?

3. Яке канонічне рівняння еліпса?

4. Що називають еліпсом?

5. Що називають гіпенболою?

6. Яке канонічне рівняння гіперболи в ПДСК?

7. Що називають параболою?

8.  При якому значенні ексцентриситету отримуємо еліпс, гіперболу, параболу?